Erwartungswert, Binomial- und Normalverteilung in der Mathematik (CBK) der WU

Das fünfte der neun Themen im Syllabus der Mathematik im CBK an der WU Wien ist die Wahrscheinlichkeitsrechnung; welche Unterthemen dazugehören, nennt der Syllabus nicht.¹ Im Lehrbuch von Birgit Rudloff, die die Lehrveranstaltung leitet, und Achim Zeileis hat das fünfte Kapitel denselben Titel. Seine zweite Hälfte handelt von Zufallsgrößen, Zahlen, die vom Zufall abhängen: ein Wochenverdienst, ein Tagesumsatz, die Treffer beim Raten. Gefragt wird, was im Mittel herauskommt, wie stark das Ergebnis schwankt und wie wahrscheinlich ein Bereich ist.

Ereignisse und bedingte Wahrscheinlichkeiten behandelt ein eigener Artikel. Punkte kosten hier vor allem eine Varianz ohne Quadrat, ein vergessener Binomialkoeffizient und die falsche Seite der Normalverteilung. Hilfe gibt es laut Syllabus im Forum auf Canvas und im Walk-In-Tutorial, in dem du Übungsaufgaben mit Betreuung rechnest.¹

Zufallsgrößen und ihre Verteilung: Mathematik (CBK)

Eine Zufallsgröße ordnet jedem Ausgang eines Zufallsexperiments, eines Vorgangs mit ungewissem Ausgang, eine Zahl zu. Eine Studentin gibt Nachhilfe, und wie viele Stunden in einer Woche gebucht werden, weiß sie vorher nicht. Die Zahl $X$ der Stunden ist eine diskrete Zufallsgröße, weil sie nur einzelne Werte annimmt. Ihre Verteilung ist die Tabelle der Werte mit ihren Wahrscheinlichkeiten:

Stunden $x$	0	1	2	3
$P(X=x)$	0,1	0,3	0,4	0,2

Keine Wahrscheinlichkeit ist negativ, und zusammen ergeben sie 1. Für einen Bereich addierst du: Mindestens zwei Stunden bucht sie mit $0,4+0,2=0,6$.

Eine stetige Zufallsgröße, etwa eine Fahrzeit, kann jeden Wert eines Intervalls annehmen. An die Stelle der Tabelle tritt eine Dichtefunktion, und die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich ist die Fläche unter ihr; die ganze Fläche ist 1. Ein einzelner Wert hat deshalb die Wahrscheinlichkeit 0, und ob die Angabe $<$ oder $\le$ schreibt, ändert nichts.

Erwartungswert und Varianz: Mathematik (CBK)

Der Erwartungswert ist der mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Durchschnitt der Werte. Für die Nachhilfe:

$$E(X)=0\cdot 0,1+1\cdot 0,3+2\cdot 0,4+3\cdot 0,2=1,7$$

Über viele Wochen sind es im Mittel 1,7 Stunden. Der einfache Durchschnitt der vier Werte, 1,5, übergeht die Wahrscheinlichkeiten.

Die Varianz misst, wie weit die Werte im Mittel quadratisch vom Erwartungswert abweichen. Rechnen lässt sie sich mit dem Verschiebungssatz:

$$\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-E(X{)}^2$$

Hier ist $E(X^2)=1\cdot 0,3+4\cdot 0,4+9\cdot 0,2=3,7$ und damit $\mathrm{Var}(X)=3,7-1,7^2=0,81$. Die Standardabweichung ist die Wurzel daraus, $\sigma =0,9$ Stunden, in derselben Einheit wie $X$. Wer $E(X)$ nicht quadriert, bekommt $3,7-1,7=2$.

Pro Stunde bekommt die Studentin 25 GE (Geldeinheiten), und jede Woche zahlt sie 12 GE für Fahrten. Ihr Wochenergebnis $Y=25X-12$ ist eine lineare Transformation von $X$:

$$E(aX+b)=a\cdot E(X)+b,\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\cdot \mathrm{Var}(X)$$

Also ist $E(Y)=25\cdot 1,7-12=30,5$ GE, $\mathrm{Var}(Y)=625\cdot 0,81=506,25$ und ${\sigma }_Y=22,5$ GE. Die Konstante verschiebt alle Werte gleich weit und ändert die Streuung nicht, der Faktor geht quadriert ein; $25\cdot 0,81=20,25$ ist als Varianz falsch.

Erwartungswerte addieren sich immer, Varianzen nur bei unabhängigen Größen. Zwei unabhängige Nachhilfewochen haben den Erwartungswert 3,4 und die Varianz 1,62, die Standardabweichung ist also $\sqrt{1,62}\approx 1,27$ Stunden, weniger als $2\cdot 0,9$. So entsteht auch die Streuung einer Portfoliorendite oder eines Mittelwerts: Der Durchschnitt von $n$ unabhängigen Größen hat ein $n$-tel ihrer gemeinsamen Varianz. Bei abhängigen Größen kommt noch ihre Kovarianz dazu, hier nicht weiter behandelt.

Binomialverteilung: Mathematik (CBK)

Ein Bernoulli-Experiment hat zwei Ausgänge, Erfolg mit der Wahrscheinlichkeit $p$ und Misserfolg. Wiederholst du es $n$-mal unabhängig, ist die Zahl $X$ der Erfolge binomialverteilt:

$$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k},E(X)=np,\mathrm{Var}(X)=np(1-p)$$

Ein Beispiel aus der Prüfung selbst, nach unserer Rechnung mit der Regel aus dem Syllabus: Du hast 11 Antworten sicher und rätst bei den übrigen 9 Fragen blind, jeder Tipp trifft mit $p=0,2$. Keinen Treffer gibt es mit $0,8^9\approx 0,134$. Ein bestimmter Ablauf mit genau einem Treffer, etwa bei der ersten Frage, hat die Wahrscheinlichkeit $0,2\cdot 0,8^8\approx 0,034$. Der Treffer kann aber bei jeder der 9 Fragen liegen; diese Zahl der Abläufe ist der Binomialkoeffizient $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{1}\right)=9$, und genau ein Treffer hat $9\cdot 0,2\cdot 0,8^8\approx 0,302$. Ohne den Koeffizienten zählst du nur einen Ablauf.

Nach der Syllabus-Regel (drei Falsche frei, dann 0,25 je Antwort) bleiben dir mit keinem oder einem Treffer 9,5 oder 10,75 Punkte.¹ Du fällst also mit $0,134+0,302=0,436$ durch und bestehst mit 56,4 %, wie der Minuspunkte-Rechner für diese Lage zeigt. Im Mittel triffst du $np=1,8$-mal, mit der Varianz $9\cdot 0,2\cdot 0,8=1,44$.

Normalverteilung und Standardisieren: Mathematik (CBK)

Viele stetige Größen streuen glockenförmig um einen Mittelwert: Sie sind normalverteilt mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$. Unser Beispiel ist der Tagesumsatz $X$ eines Würstelstands mit $\mu =460$ GE und $\sigma =30$ GE. Um eine Wahrscheinlichkeit abzulesen, standardisierst du:

$$z=\frac{x-\mu }{\sigma },P(X\le x)=\Phi (z)$$

$\Phi$ ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung mit $\mu =0$ und $\sigma =1$, ihre Werte stehen in Tabellen. Ein Umsatz bis 490 GE hat $z=(490-460)/30=1$ und die Wahrscheinlichkeit $\Phi (1)\approx 0,841$.

1. Tagesumsatz in GE, μ = 460, σ = 30; gesucht ist die Fläche F bis 490.
2. Minus 460: die Mitte rutscht auf 0.
3. Durch 30: 30 GE werden 1 breit, die Fläche F bleibt gleich.
4. F = P(X ≤ 490) = Φ(1) ≈ 0,841.

Unsere Berechnung

Zahlen aus dem Beispiel des Artikels (eigene Zahlen): μ = 460 GE, σ = 30 GE, gefragt ist P(X ≤ 490).

z = (490 − 460) / 30 = 1. Wird jede Größe um 460 verschoben und durch 30 geteilt, wird die Glocke 30-mal schmaler und 30-mal höher; jede Fläche unter ihr bleibt gleich. Deshalb ist P(X ≤ 490) = P(Z ≤ 1) = Φ(1) ≈ 0,841, abgelesen in der Tabelle der Standardnormalverteilung.

Tabellen enthalten meist nur positive $z$. Weil die Glocke symmetrisch ist, gilt $\Phi (-z)=1-\Phi (z)$: Unter 430 GE, bei $z=-1$, liegt der Umsatz mit $1-0,841=0,159$. Ebenso wahrscheinlich ist ein Umsatz über 490 GE, denn $P(X>x)=1-\Phi (z)$. Zwischen $\mu -\sigma$ und $\mu +\sigma$ liegen damit rund 68 % der Tage.

Ein Quantil fragt rückwärts nach dem Wert zu einer Wahrscheinlichkeit, etwa nach dem Umsatz, den der Stand an 95 % der Tage übertrifft. Aus $\Phi (1,645)\approx 0,95$ folgt, dass 5 % der Tage unter $z=-1,645$ liegen, also unter $\mu +z\cdot \sigma =460-1,645\cdot 30\approx 410,65$ GE.

Nach dem zentralen Grenzwertsatz ist eine Summe vieler unabhängiger Größen ungefähr normalverteilt. Deshalb lässt sich eine Binomialverteilung mit großem $n$ durch die Normalverteilung mit $\mu =np$ und $\sigma =\sqrt{np(1-p)}$ annähern.

1. n = 9: μ = 1,8, σ = 1,2; die Glocke ist bei 0 abgeschnitten.
2. n = 16: die Balken wandern nach rechts und werden flacher.
3. n = 25: μ = 5, σ = 2.
4. n = 50: kaum noch Lücken zwischen Glocke und Balken.
5. n = 100: μ = 20, σ = 4; die Glocke liegt fast genau auf den Balken.

Unsere Berechnung

p = 0,2 und n = 9 stammen aus dem Rate-Beispiel des Artikels (9 Fragen blind geraten). n = 16, 25, 50 und 100 haben wir gewählt.

n = 9: μ = 1,8, σ = 1,2. n = 16: μ = 3,2, σ = 1,6. n = 25: μ = 5, σ = 2. n = 50: μ = 10, σ ≈ 2,83. n = 100: μ = 20, σ = 4.

Jeder Balken ist P(X = k) hoch, die Glocke die Dichte der Normalverteilung mit denselben μ und σ; beide auf derselben Skala.

Eine Aufgabe zur Normalverteilung: Mathematik (CBK)

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Würstelstand an einem Tag zwischen 430 und 505 GE umsetzt, mit $\Phi (1)\approx 0,841$ und $\Phi (1,5)\approx 0,933$. Standardisiert sind die Grenzen $z_1=(430-460)/30=-1$ und $z_2=(505-460)/30=1,5$, und ein Bereich ist die Differenz der Verteilungsfunktion an seinen Enden:

$$P(430<X<505)=\Phi (1,5)-\Phi (-1)=0,933-(1-0,841)=0,774$$

Setzt du für $\Phi (-1)$ einfach $\Phi (1)$ ein, kommt $0,933-0,841=0,092$ heraus. Das kann nicht stimmen, denn schon von $\mu -\sigma$ bis $\mu$ liegen rund 34 % der Tage. Ohne die untere Grenze bleibt $\Phi (1,5)\approx 0,933$, und wer durch die Varianz 900 statt durch $\sigma$ teilt, bekommt zwei $z$-Werte nahe 0 und rund 3 %.

Übungsaufgaben zu Erwartungswert und Verteilungen: Mathematik (CBK)

Die Prüfung besteht aus 20 Multiple-Choice-Fragen mit je 5 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Eine richtige Antwort bringt 1 Punkt. Die ersten 3 falschen Antworten kosten nichts, jede weitere kostet 0,25 Punkte; bestanden ist ab 11 Punkten.¹

Die drei Aufgaben unten sind unsere eigenen, in diesem Format; keine stammt aus einer Prüfung der WU oder aus dem Lehrbuch. Jede falsche Antwort ist ein typischer Fehler, und die Lösung zeigt den Rechenweg und wie du Antworten ausschließt.

Übungsaufgabe 1Wahrscheinlichkeitsrechnung

Ein Eisstand auf der Donauinsel macht an einem Samstag je nach Wetter −30 GE (Geldeinheiten) Gewinn bei Regen, 40 GE bei bewölktem Himmel und 90 GE bei Sonne. Regen kommt mit Wahrscheinlichkeit 0,25, bewölkter Himmel mit 0,45 und Sonne mit 0,30. Wie groß ist die Standardabweichung des Gewinns (gerundet)?

1. a)24,87 GE
2. b)37,50 GE
3. c)44,37 GE
4. d)58,09 GE
5. e)1.968,75 GE

Genau eine Antwort ist richtig.

Lösung und Punkte für jede Wahl+

Rechenweg

1. Erwartungswert: E(X) = −30 · 0,25 + 40 · 0,45 + 90 · 0,30 = −7,5 + 18 + 27 = 37,5 GE.
2. E(X²) = 900 · 0,25 + 1.600 · 0,45 + 8.100 · 0,30 = 225 + 720 + 2.430 = 3.375.
3. Varianz: Var(X) = 3.375 − 37,5² = 3.375 − 1.406,25 = 1.968,75.
4. Standardabweichung: σ = √1.968,75 ≈ 44,37 GE.

a)

Falsch. Den Verlust bei Regen als +30 statt −30 eingesetzt: E(X) = 52,5 statt 37,5, Var(X) = 3.375 − 52,5² = 618,75, die Wurzel ≈ 24,87.

0 oder −0,25

b)

Falsch. Der Erwartungswert E(X) = −30 · 0,25 + 40 · 0,45 + 90 · 0,30 = 37,5 statt der Standardabweichung.

0 oder −0,25

c)

Richtig. σ = √(E(X²) − E(X)²) = √(3.375 − 1.406,25) = √1.968,75 ≈ 44,37.

+1

d)

Falsch. E(X)² nicht abgezogen: √E(X²) = √3.375 ≈ 58,09.

0 oder −0,25

e)

Falsch. Die Varianz statt der Standardabweichung, die Wurzel vergessen; ihre Einheit wäre GE².

0 oder −0,25

–

Leer gelassen.

0

Typischer Fehler. Die Wurzel vergessen. Die Varianz 1.968,75 hat die Einheit GE² und ist keine Schwankung in GE; erst ihre Wurzel, 44,37 GE, ist die Standardabweichung. Ebenso teuer ist das verlorene Minus beim Verlust: Mit +30 statt −30 steigt der Erwartungswert, die Varianz sinkt, und es kommt 24,87 heraus.

Ausschließen vor dem Fertigrechnen. Die Standardabweichung ist nie größer als die halbe Spannweite der Werte, (90 − (−30)) / 2 = 60 GE; damit fällt e weg. Der Erwartungswert ist mit drei Produkten gerechnet, 37,5, und steht in b; er sagt nichts über die Streuung, also fällt auch b weg. Es bleiben drei.

Ein Tipp unter den 3 übrigen trifft mit Wahrscheinlichkeit 1/3. Er bringt im Schnitt ≈ 0,33 Punkte, solange deine drei freien Fehler reichen, und ≈ 0,17 danach.

Übungsaufgabe 2Wahrscheinlichkeitsrechnung

Eine Studentin berät in ihrem Nebenjob Kund:innen zu Handytarifen. Jedes Gespräch endet unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit 0,35 in einem Vertragsabschluss. An einem Nachmittag führt sie 6 Gespräche. Mit welcher Wahrscheinlichkeit schließt sie höchstens 2 Verträge ab (gerundet)?

1. a)0,1379
2. b)0,3191
3. c)0,3280
4. d)0,6471
5. e)0,6809

Genau eine Antwort ist richtig.

Lösung und Punkte für jede Wahl+

Rechenweg

1. Binomialverteilung mit n = 6 und p = 0,35; höchstens 2 heißt X = 0, 1 oder 2.
2. P(X = 0) = 0,65⁶ ≈ 0,0754 und P(X = 1) = 6 · 0,35 · 0,65⁵ ≈ 0,2437.
3. P(X = 2) = 15 · 0,35² · 0,65⁴ ≈ 0,3280, mit dem Binomialkoeffizienten 6 · 5 / 2 = 15.
4. Summe: P(X ≤ 2) ≈ 0,0754 + 0,2437 + 0,3280 = 0,6471.

a)

Falsch. Die Binomialkoeffizienten weggelassen: 0,65⁶ + 0,35 · 0,65⁵ + 0,35² · 0,65⁴ ≈ 0,1379, bei jeder Trefferzahl nur ein Ablauf gezählt.

0 oder −0,25

b)

Falsch. Den Fall „genau 2“ vergessen, also weniger als 2 gerechnet: P(X = 0) + P(X = 1) ≈ 0,0754 + 0,2437.

0 oder −0,25

c)

Falsch. Nur genau 2: P(X = 2) = 15 · 0,35² · 0,65⁴ ≈ 0,3280.

0 oder −0,25

d)

Richtig. P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) ≈ 0,0754 + 0,2437 + 0,3280 = 0,6471.

+1

e)

Falsch. „Höchstens“ mit „mindestens“ verwechselt: P(X ≥ 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1) ≈ 0,6809.

0 oder −0,25

–

Leer gelassen.

0

Typischer Fehler. Der vergessene Binomialkoeffizient. 0,35² · 0,65⁴ ist die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ablaufs, etwa Abschlüsse in den ersten beiden Gesprächen und danach vier ohne. Zwei Abschlüsse können aber auf 15 Arten auf die 6 Gespräche fallen. Ohne die Koeffizienten 1, 6 und 15 kommt 0,1379 heraus, weniger als ein Viertel des richtigen Werts.

Ausschließen vor dem Fertigrechnen. Rechne nur P(X = 2) = 15 · 0,1225 · 0,1785 ≈ 0,3280. „Höchstens 2“ enthält diesen Fall und dazu P(X = 0) und P(X = 1), die beide positiv sind; die Antwort liegt also über 0,3280. Damit fallen a, b und c weg, es bleiben zwei.

Ein Tipp unter den 2 übrigen trifft mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Er bringt im Schnitt 0,5 Punkte, solange deine drei freien Fehler reichen, und 0,375 danach.

Übungsaufgabe 3Wahrscheinlichkeitsrechnung

Angenommen, die Monatsmiete für WG-Zimmer in einer Stadt ist normalverteilt mit dem Erwartungswert 412 GE (Geldeinheiten) und der Varianz 576 GE². Welcher Anteil der Zimmer kostet weniger als 382 GE (gerundet)? Verwende Φ(0,05) = 0,5199 und Φ(1,25) = 0,8944.

1. a)0,1056
2. b)0,2112
3. c)0,3944
4. d)0,4801
5. e)0,8944

Genau eine Antwort ist richtig.

Lösung und Punkte für jede Wahl+

Rechenweg

1. Standardabweichung: σ = √576 = 24 GE.
2. Standardisieren: z = (382 − 412) / 24 = −30 / 24 = −1,25.
3. Symmetrie: Φ(−1,25) = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056.

a)

Richtig. σ = √576 = 24, z = (382 − 412) / 24 = −1,25 und Φ(−1,25) = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056.

+1

b)

Falsch. Beide Ränder gezählt, also auch die Zimmer über 442 GE: 2 · 0,1056.

0 oder −0,25

c)

Falsch. Nur die Fläche zwischen 382 GE und dem Erwartungswert: Φ(1,25) − 0,5 = 0,3944.

0 oder −0,25

d)

Falsch. Durch die Varianz statt durch σ geteilt: z = −30 / 576 ≈ −0,05 und Φ(−0,05) = 1 − 0,5199 = 0,4801.

0 oder −0,25

e)

Falsch. Das „1 −“ vergessen: Φ(1,25) statt Φ(−1,25), der Anteil der Zimmer über 382 GE.

0 oder −0,25

–

Leer gelassen.

0

Typischer Fehler. Durch die Varianz teilen. Die Angabe nennt die Varianz 576, standardisiert wird aber mit σ = 24. Wer durch 576 teilt, bekommt z ≈ −0,05 und damit 0,4801, fast die Hälfte, obwohl 382 GE deutlich unter dem Mittel liegt.

Ausschließen vor dem Fertigrechnen. Die Standardabweichung ist √576 = 24 GE, und 382 liegt mehr als eine Standardabweichung unter dem Erwartungswert (412 − 24 = 388). Deutlich über der Hälfte liegen c, d und e daher sicher falsch; zwischen a und ihrem doppelten Rand b entscheidet erst die Rechnung.

Ein Tipp unter den 2 übrigen trifft mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Er bringt im Schnitt 0,5 Punkte, solange deine drei freien Fehler reichen, und 0,375 danach.

Tabelle und Taschenrechner für Wahrscheinlichkeiten im CBK

Wie sich die 20 Fragen auf die Kapitel verteilen, gibt die WU nicht bekannt; dieser Artikel folgt deshalb dem Aufbau des Lehrbuchs. Dort gehören „Zufallsgrößen“ und „Diskrete Verteilungen“ noch zu den „Grundbegriffen“. Es folgen „Erwartungswert und Varianz“ mit „Die Rendite eines Portfolios“, „Die Normalverteilung“ mit „Quantile“ und „Die Binomialverteilung“ mit „Approximation durch die Normalverteilung“.²

Erlaubt ist ein Taschenrechner ohne Zusatzfunktionen für Differential-, Integral- und Matrizenrechnung, ohne Löser für lineare Gleichungssysteme und ohne Textspeicher.¹ Ob er Statistikfunktionen haben darf, schreibt der Syllabus nicht.

Die Prüfungsrichtlinie der WU schließt Formelsammlungen und Uhren jeder Art aus, wenn der Syllabus nichts anderes vorsieht.³ Eine eigene Tabelle der Normalverteilung darfst du also nicht mitbringen, und ob bei der Prüfung eine ausgeteilt wird, schreibt die WU nicht. In unseren Aufgaben stehen die nötigen Werte von $\Phi$ deshalb in der Angabe. Im Kopf haben musst du den Verschiebungssatz, $np$ und $np(1-p)$, das Standardisieren und $\Phi (-z)=1-\Phi (z)$.

Für die ganze Prüfung sind im Prüfungsplan zwei Stunden reserviert, die Schreibzeit nennt der Syllabus nicht.⁴ Bei 20 Fragen bleiben höchstens sechs Minuten für jede.

Nächster Schritt nach Erwartungswert und Verteilungen: Mathematik (CBK)

1. Rechne die drei Aufgaben oben, bevor du die Lösung öffnest, und schreib bei jeder zuerst auf, was gefragt ist: Erwartungswert, Standardabweichung oder die Wahrscheinlichkeit eines Bereichs.
2. Hast du eine falsch, such in der Lösung den Fehler zu deiner Antwort. Mehr Übung dazu findest du im frei zugänglichen Lehrbuch von Birgit Rudloff und Achim Zeileis, im fünften Kapitel.⁵
3. Wenn Ereignisse und bedingte Wahrscheinlichkeiten noch nicht sitzen, beginn mit dem Artikel über Wahrscheinlichkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit. Termine und Anmeldung zur Prüfung stehen im Überblick zur Mathematik-Prüfung im CBK.

Quellen

1. 1Syllabus 0003 Mathematik (LVP), Wintersemester 2026/27WU Wien, Vorlesungsverzeichnis · Seite ohne Datum · geprüft am 27. September 2026
2. 2Rudloff, Zeileis: Mathematik für Wirtschaftswissenschaften, Kapitel 5: Wahrscheinlichkeitsrechnungmathe4wiwi.org · Seite ohne Datum · geprüft am 27. September 2026
3. 3Richtlinie zur Abhaltung von Präsenzprüfungen, 2026 (PDF)WU Wien · Dokument vom 2. März 2026 · geprüft am 27. September 2026
4. 4Prüfungsplan Semestermitte WiSe 2026/27, Prüfungswoche November 2026 (PDF)WU Wien, Prüfungsorganisation · Dokument vom 30. März 2026 · geprüft am 27. September 2026
5. 5Rudloff, Zeileis: Mathematik für Wirtschaftswissenschaften (Online-Buch, Version 2023)mathe4wiwi.org · Seite ohne Datum · geprüft am 26. September 2026