Kosten, Erlös und Monopol in der Mathematik-Prüfung (CBK) der WU

Das erste der neun Themen im Syllabus der Mathematik im CBK an der WU Wien heißt „Lineare und quadratische Funktionen“; welche Unterthemen dazugehören, nennt der Syllabus nicht.¹ Das Lehrbuch von Birgit Rudloff, die die Lehrveranstaltung leitet, und Achim Zeileis hat ein erstes Kapitel mit demselben Titel, und ein Teil davon handelt von Kosten, Erlös und Gewinn eines Unternehmens. Es geht um drei Fragen: Ab welcher Menge deckt der Erlös die Kosten, bei welcher Menge und welchem Preis verdient ein Monopolist am meisten, und wie hoch ist dann sein Gewinn.

Dafür stellst du aus dem Aufgabentext eine Kosten- und eine Erlösfunktion auf, bildest daraus den Gewinn, löst eine lineare oder quadratische Gleichung und bestimmst den Scheitel einer Parabel. Ableitungen brauchst du dafür keine. Leicht verwechselt werden dabei Preis und Menge, Erlös und Gewinn.

Kosten, Erlös und Gewinnschwelle: Mathematik (CBK)

Stellt ein Unternehmen $x$ Stück her, hat es Kosten aus zwei Teilen. Die Fixkosten $F$ fallen immer an, auch bei null Stück, etwa für Miete. Die variablen Kosten wachsen mit jedem Stück um denselben Betrag $v$, die variablen Stückkosten. Zusammen ergibt das die lineare Kostenfunktion $K(x)=F+v\cdot x$. Verkauft das Unternehmen jedes Stück zum festen Preis $p$, ist sein Erlös $E(x)=p\cdot x$, und der Gewinn ist, was davon nach den Kosten bleibt:

$$G(x)=E(x)-K(x)=(p-v)\cdot x-F$$

Die Differenz $p-v$ heißt Deckungsbeitrag: So viel trägt jedes verkaufte Stück dazu bei, die Fixkosten zu decken. Die Gewinnschwelle, auch Break-even-Punkt genannt, ist die Menge, bei der der Gewinn genau null ist, also $x=F/(p-v)$. Bei Fixkosten von 240 GE (Geldeinheiten), variablen Stückkosten von 5 GE und einem Preis von 8 GE deckt jedes Stück 3 GE, und ab 80 Stück macht das Unternehmen keinen Verlust mehr.

Wer die Fixkosten vergisst, findet eine Gewinnschwelle bei null. Wer durch den Preis teilt statt durch den Deckungsbeitrag, rechnet so, als kostete jedes Stück in der Herstellung nichts. Und wer eine Mindestmenge sucht und das Ergebnis abrundet, landet knapp im Verlust: Liegt die Gewinnschwelle zwischen zwei ganzen Zahlen, ist die größere die Antwort.

Monopol mit linearer Nachfrage: Mathematik (CBK)

Ein Monopolist ist der einzige Anbieter auf seinem Markt. Er setzt den Preis selbst, verkauft aber umso weniger, je höher er ihn setzt. Im linearen Marktmodell hängt die Nachfrage linear vom Preis ab, und das lässt sich auf zwei gleichwertige Arten schreiben: als Nachfragefunktion, die zu jedem Preis die Menge nennt, etwa $x(p)=60-2p$, oder nach dem Preis umgestellt als Preis-Absatz-Funktion, die zu jeder Menge den Preis nennt, hier $p(x)=30-0,5x$. Der Preis, bei dem niemand mehr kauft, heißt Prohibitivpreis, hier 30 GE.

Mit der Preis-Absatz-Funktion ist der Erlös $E(x)=p(x)\cdot x$ eine nach unten offene Parabel in der Menge, und nach Abzug der linearen Kosten ist auch der Gewinn eine solche Parabel. Am größten ist er im Scheitel: Für eine Parabel $f(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma$ liegt der Scheitel bei $x=-\beta /(2\alpha )$. Mit der Nachfragefunktion rechnest du genauso, nur im Preis: $G(p)=(p-v)\cdot x(p)-F$ ist eine Parabel in $p$. Ableitungen kommen im Syllabus erst als drittes Thema und führen zum selben Ergebnis; hier reicht die Scheitelformel.¹

Ein Beispiel: $p(x)=30-0,5x$ und $K(x)=160+6x$. Der Erlös ist $E(x)=30x-0,5x^2$, der Gewinn $G(x)=-0,5x^2+24x-160$. Er ist am größten bei $x=24$ Stück, zum Preis $p(24)=18$ GE, und beträgt dann $G(24)=128$ GE. Im Preis gerechnet kommt dasselbe heraus: $G(p)=(p-6)(60-2p)-160$ hat seinen Scheitel bei $p=18$. Der Erlös allein wäre bei $x=30$ am größten, mit 450 GE, doch dort bleiben nur 110 GE Gewinn.

Die gewinnmaximale Menge liegt links von der erlösmaximalen, weil jedes weitere Stück Kosten verursacht: Ab 24 Stück bringt ein zusätzliches Stück weniger Erlös dazu, als es kostet. Gewinn macht der Monopolist nur zwischen den Nullstellen des Gewinns, wo die Erlöskurve die Kostengerade schneidet. Aus $G(x)=0$ wird nach Multiplikation mit $-2$ die Gleichung $x^2-48x+320=0$. Die Lösungsformel gibt $x=24\pm \sqrt{24^2-320}=24\pm 16$, also 8, die Gewinnschwelle, und 40, die Gewinngrenze, ab der er wieder Verlust macht.

Für das Gewinnmaximum gibt es eine schnelle Probe. Bei linearer Nachfrage und linearen Kosten liegt der gewinnmaximale Preis genau in der Mitte zwischen Prohibitivpreis und variablen Stückkosten, hier $(30+6)/2=18$. Passt dein Preis nicht dazu, hast du dich irgendwo verrechnet. Lies außerdem vor dem Rechnen, wonach gefragt ist: Menge, Preis und Gewinn im Maximum sind drei verschiedene Zahlen, und bei fünf Antworten kann jede von ihnen als falsche Antwort dastehen.

Unsere Berechnung

Zahlen aus dem Beispiel dieses Artikels, von unipass für den Artikel gewählt.

E(x) = p(x) · x = 30x − 0,5x²

G(x) = (p(x) − 6) · x − 160 = −0,5x² + 24x − 160

Das gefüllte Rechteck über den Stückkosten ist der Deckungsbeitrag (p − 6) · x. Bei x = 24 und p = 18: 12 · 24 = 288, Gewinn 288 − 160 = 128.

Das ganze Rechteck ist der Erlös p · x. Bei x = 30 und p = 15: 15 · 30 = 450, Gewinn 450 − 160 − 6 · 30 = 110.

Probe: (30 + 6) / 2 = 18 und (30 + 0) / 2 = 15. Das größte Rechteck unter einer fallenden Geraden hat seine Ecke in deren Mitte.

Übungsaufgaben zu Kosten und Monopol: Mathematik (CBK)

Die Prüfung besteht aus 20 Multiple-Choice-Fragen mit je 5 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Eine richtige Antwort bringt 1 Punkt. Die ersten 3 falschen Antworten kosten nichts, jede weitere kostet 0,25 Punkte; bestanden ist ab 11 Punkten.¹

Die drei Aufgaben haben wir für diesen Artikel geschrieben, in diesem Format: Geschichte, Zahlen und Wortlaut sind unsere eigenen, keine Aufgaben der WU oder des Lehrbuchs. Jede falsche Antwort entsteht aus einem typischen Fehler. Rechne zuerst selbst und öffne dann die Lösung: Sie zeigt den Rechenweg, den typischen Fehler und wie du Antworten ausschließt, bevor du fertig gerechnet hast.

Übungsaufgabe 1Lineare und quadratische Funktionen

Eine Siebdruckerei bedruckt Stofftaschen. Sie hat Fixkosten von 500 GE (Geldeinheiten) pro Woche, jede Tasche kostet sie zusätzlich 3,50 GE und wird um 8 GE verkauft. Wie viele Taschen muss die Druckerei pro Woche mindestens verkaufen, damit sie keinen Verlust macht?

1. a)62
2. b)63
3. c)111
4. d)112
5. e)143

Genau eine Antwort ist richtig.

Lösung und Punkte für jede Wahl+

Rechenweg

1. Kosten K(x) = 500 + 3,5x, Erlös E(x) = 8x, mit x Taschen pro Woche.
2. Gewinn G(x) = E(x) − K(x) = 8x − 500 − 3,5x = 4,5x − 500.
3. G(x) = 0 bei x = 500 / 4,5 ≈ 111,1.
4. Verkauft werden nur ganze Taschen. Bei 111 fehlen 0,50 GE, bei 112 bleibt ein Gewinn von 4 GE. Die Antwort ist 112.

a)

Falsch. Die variablen Kosten vergessen und abgerundet: 500 / 8 = 62,5.

0 oder −0,25

b)

Falsch. Die variablen Kosten vergessen: 500 / 8 = 62,5, aufgerundet.

0 oder −0,25

c)

Falsch. Richtig gerechnet, aber abgerundet: 111 Taschen bringen 111 · 4,50 = 499,50 GE, es fehlen noch 0,50 GE.

0 oder −0,25

d)

Richtig. Gewinnschwelle bei 500 / 4,5 ≈ 111,1, aufgerundet auf die nächste ganze Tasche.

+1

e)

Falsch. Durch die variablen Stückkosten geteilt statt durch den Deckungsbeitrag: 500 / 3,5 ≈ 142,9, aufgerundet.

0 oder −0,25

–

Leer gelassen.

0

Typischer Fehler. Abrunden. 111,1 ist die Menge, bei der der Gewinn genau null wird; die ganze Zahl darunter liegt noch im Verlust. Fragt die Aufgabe nach einer Mindestmenge, rundest du auf.

Ausschließen vor dem Fertigrechnen. Jede Tasche trägt 8 − 3,50 = 4,50 GE zu den Fixkosten bei. 100 Taschen decken 450 GE, 120 Taschen 540 GE, die Antwort liegt also zwischen 100 und 120. Damit fallen die Antworten a, b und e weg, es bleiben zwei.

Ein Tipp unter den 2 übrigen trifft mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Er bringt im Schnitt 0,5 Punkte, solange deine drei freien Fehler reichen, und 0,375 danach.

Übungsaufgabe 2Lineare und quadratische Funktionen

Ein Hersteller ist der einzige Anbieter eines Ersatzteils. Setzt er x Stück ab, kann er dafür den Preis p(x) = 90 − 0,5x verlangen, in GE (Geldeinheiten). Seine Kosten sind K(x) = 400 + 10x. Bei welcher Menge ist sein Gewinn am größten?

1. a)50
2. b)80
3. c)90
4. d)100
5. e)160

Genau eine Antwort ist richtig.

Lösung und Punkte für jede Wahl+

Rechenweg

1. Erlös E(x) = p(x) · x = 90x − 0,5x².
2. Gewinn G(x) = 90x − 0,5x² − (400 + 10x) = −0,5x² + 80x − 400.
3. Die Parabel ist nach unten offen, ihr Scheitel liegt bei x = −80 / (2 · (−0,5)) = 80.
4. Zur Kontrolle: Der Preis ist dann p(80) = 50 GE, der Gewinn G(80) = 2.800 GE.

a)

Falsch. Der Preis statt der Menge: Beim Gewinnmaximum ist p(80) = 50.

0 oder −0,25

b)

Richtig. Scheitel der Gewinnparabel G(x) = −0,5x² + 80x − 400: x = −80 / (2 · (−0,5)) = 80.

+1

c)

Falsch. Den Erlös maximiert statt des Gewinns: Scheitel von E(x) = 90x − 0,5x².

0 oder −0,25

d)

Falsch. Die variablen Kosten addiert statt abgezogen: G(x) = −0,5x² + 100x − 400, Scheitel bei 100.

0 oder −0,25

e)

Falsch. Den Preis gleich den variablen Stückkosten von 10 GE gesetzt, als müsste er nur diese decken: 90 − 0,5x = 10.

0 oder −0,25

–

Leer gelassen.

0

Typischer Fehler. Den Erlös statt des Gewinns maximiert. Der Scheitel von E(x) liegt bei 90. Weil jedes weitere Stück 10 GE kostet, liegt der Scheitel des Gewinns weiter links, bei 80.

Ausschließen vor dem Fertigrechnen. Kostet jedes Stück etwas, liegt die gewinnmaximale Menge links vom Erlösmaximum. Der Erlös ist am größten in der Mitte zwischen 0 und 180, der Menge, bei der der Preis null wird, also bei 90. Damit fallen die Antworten c, d und e weg, es bleiben zwei.

Ein Tipp unter den 2 übrigen trifft mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Er bringt im Schnitt 0,5 Punkte, solange deine drei freien Fehler reichen, und 0,375 danach.

Übungsaufgabe 3Lineare und quadratische Funktionen

Eine Sprachschule hält als einzige in der Stadt einen bestimmten Intensivkurs. Verlangt sie den Preis p in GE (Geldeinheiten), melden sich x(p) = 200 − 4p Personen an. Sie hat Fixkosten von 300 GE und Kosten von 8 GE pro Person. Wie hoch ist ihr größtmöglicher Gewinn?

1. a)1.464 GE
2. b)1.764 GE
3. c)2.004 GE
4. d)2.304 GE
5. e)2.436 GE

Genau eine Antwort ist richtig.

Lösung und Punkte für jede Wahl+

Rechenweg

1. Nach dem Preis umstellen: 4p = 200 − x, also p(x) = 50 − 0,25x. (Im Preis gerechnet, mit G(p) = (p − 8) · (200 − 4p) − 300, kommt dasselbe heraus.)
2. Gewinn G(x) = (50 − 0,25x) · x − 300 − 8x = −0,25x² + 42x − 300.
3. Scheitel bei x = −42 / (2 · (−0,25)) = 84 Personen, zum Preis p(84) = 29 GE.
4. G(84) = −1.764 + 3.528 − 300 = 1.464 GE.

a)

Richtig. G(84) = −0,25 · 84² + 42 · 84 − 300 = 1.464.

+1

b)

Falsch. Die Fixkosten von 300 GE nicht abgezogen.

0 oder −0,25

c)

Falsch. Die Nachfrage falsch herum gelesen, als Preis zur Menge p(x) = 200 − 4x: G(x) = −4x² + 192x − 300, Scheitel bei 24.

0 oder −0,25

d)

Falsch. Die Nachfrage falsch herum gelesen und die Fixkosten vergessen: −4 · 24² + 192 · 24.

0 oder −0,25

e)

Falsch. Der Erlös im Gewinnmaximum, ohne die Kosten abzuziehen: 29 · 84.

0 oder −0,25

–

Leer gelassen.

0

Typischer Fehler. Die Nachfrage falsch herum gelesen. x(p) = 200 − 4p nennt die Menge zum Preis. Du kannst nach dem Preis umstellen, p(x) = 50 − 0,25x, oder direkt im Preis rechnen: G(p) = (p − 8) · (200 − 4p) − 300 hat seinen Scheitel bei p = 29, mit demselben Gewinn. Wer 200 − 4x als Preis zur Menge x liest, kommt auf 2.004 GE.

Ausschließen vor dem Fertigrechnen. Der größte Erlös liegt bei x = 100, zum Preis 25 GE, und beträgt 2.500 GE. Der Gewinn ist immer kleiner als der Erlös minus Fixkosten, kann also 2.500 − 300 = 2.200 GE nicht erreichen. Damit fallen die Antworten d und e weg, es bleiben drei.

Ein Tipp unter den 3 übrigen trifft mit Wahrscheinlichkeit 1/3. Er bringt im Schnitt ≈ 0,33 Punkte, solange deine drei freien Fehler reichen, und ≈ 0,17 danach.

Was die WU zur Mathematik-Prüfung im CBK festlegt

Welche der 20 Fragen welches Kapitel abfragt, veröffentlicht die WU nicht. Dieser Artikel folgt deshalb dem Aufbau des Lehrbuchs, in dem Kosten und Erlöse und das lineare Marktmodell (Monopol) Abschnitte des ersten Kapitels sind.²

Einen Taschenrechner darfst du verwenden, aber keinen mit Funktionen für Differential-, Integral- oder Matrizenrechnung, keinen, der lineare Gleichungssysteme löst, und keinen mit Textspeicher. Wer nicht Deutsch als Muttersprache hat, darf ein Wörterbuch mitnehmen; mehr erlaubt der Syllabus nicht.¹ Für dieses Kapitel reicht jedes erlaubte Modell, du brauchst Grundrechenarten, Quadrate und Wurzeln.

Formelsammlungen und Uhren jeder Art verbietet die Prüfungsrichtlinie der WU, soweit der Syllabus nichts anderes sagt.³ Eine eigene Formelsammlung darfst du also nicht mitbringen, und ob bei der Prüfung eine ausgeteilt wird, schreibt die WU nicht. Die Scheitelformel und die Formel für die Gewinnschwelle solltest du deshalb auswendig können.

Der Prüfungsplan reserviert zwei Stunden für die ganze Prüfung; wie lange du tatsächlich schreibst, nennt der Syllabus nicht.⁴ Auf 20 Fragen verteilt sind das höchstens sechs Minuten pro Frage. Kommt eine Aufgabe zu Kosten oder Monopol, solltest du sie deshalb zügig lösen können, damit Zeit für Aufgaben mit mehr Rechenaufwand bleibt.

Nächster Schritt nach Kosten und Monopol: Mathematik (CBK)

1. Lies im frei zugänglichen Lehrbuch von Birgit Rudloff und Achim Zeileis die Abschnitte Kosten und Erlöse und Lineares Marktmodell (Monopol).⁵ Rechne danach die drei Aufgaben oben, ohne vorher in die Lösung zu sehen.
2. Hast du eine falsch, such in der Lösung den Fehler, der zu deiner Antwort gehört. War es ein Rechenfehler in einer Monopolaufgabe, mach künftig die Probe mit dem Preis in der Mitte. War es eine Verwechslung, schreib vor dem Rechnen auf, ob Menge, Preis oder Gewinn gefragt ist.
3. Die arithmetischen Folgen sind ein weiterer Abschnitt desselben Kapitels. Wann die nächste Prüfung ist und wie du dich anmeldest, steht im Überblick zur Mathematik-Prüfung im CBK.

Quellen

1. 1Syllabus 0003 Mathematik (LVP), Wintersemester 2026/27WU Wien, Vorlesungsverzeichnis · Seite ohne Datum · geprüft am 27. September 2026
2. 2Rudloff, Zeileis: Mathematik für Wirtschaftswissenschaften, Kapitel 1: Lineare und quadratische Funktionenmathe4wiwi.org · Seite ohne Datum · geprüft am 26. September 2026
3. 3Richtlinie zur Abhaltung von Präsenzprüfungen, 2026 (PDF)WU Wien · Dokument vom 2. März 2026 · geprüft am 27. September 2026
4. 4Prüfungsplan Semestermitte WiSe 2026/27, Prüfungswoche November 2026 (PDF)WU Wien, Prüfungsorganisation · Dokument vom 30. März 2026 · geprüft am 27. September 2026
5. 5Rudloff, Zeileis: Mathematik für Wirtschaftswissenschaften (Online-Buch, Version 2023)mathe4wiwi.org · Seite ohne Datum · geprüft am 26. September 2026