Arithmetische Folgen und ihre Summe in der Mathematik-Prüfung (CBK) der WU

Das erste der neun Themen im Syllabus der Mathematik im CBK an der WU Wien heißt „Lineare und quadratische Funktionen“; welche Unterthemen dazugehören, nennt der Syllabus nicht.¹ Das Lehrbuch von Birgit Rudloff, die die Lehrveranstaltung leitet, und Achim Zeileis hat ein erstes Kapitel mit demselben Titel, und darin stehen auch die arithmetischen Folgen: Abfolgen von Zahlen, die von einem Glied zum nächsten immer um denselben Betrag wachsen oder sinken, etwa eine Produktion, die jeden Monat um gleich viel zulegt, oder Raten, die jedes Quartal um denselben Betrag kleiner werden. Gesucht ist dann ein einzelner Wert, die Summe über mehrere Perioden oder die Zahl der Perioden, nach der eine Summe eine Grenze erreicht.

Dafür brauchst du zwei Formeln, eine für das einzelne Glied und eine für die Summe, und für die dritte Rechnung musst du eine quadratische Gleichung lösen. Aufpassen musst du vor allem beim Zählen: Wer sich um eine Periode verzählt, liegt genau um einen Schritt daneben, und eine solche Zahl steht bei fünf Antworten leicht zur Wahl.

Das n-te Glied einer arithmetischen Folge: Mathematik (CBK)

Eine arithmetische Folge ist durch zwei Zahlen festgelegt: das erste Glied $a_1$ und die Differenz $d$, um die jedes Glied größer ist als das vorige. Bei sinkenden Werten ist $d$ negativ, bei gleichbleibenden null. Bis zum $n$-ten Glied kommt die Differenz $n-1$ Mal dazu, denn das erste Glied hat noch keine:

$$a_n=a_1+(n-1)\cdot d$$

Ein Beispiel: Ein Fahrradverleih vermietet am ersten Tag der Saison 20 Räder und danach jeden Tag 5 mehr als am Vortag. Am 14. Tag sind es $a_{14}=20+13\cdot 5=85$ Räder. Wer $14\cdot 5$ statt $13\cdot 5$ rechnet, kommt auf 90, einen Tag zu weit.

Als Funktion von $n$ ist die Formel linear, mit der Steigung $d$; das verbindet die Folgen mit den linearen Funktionen. Diese Sicht hilft, wenn statt $a_1$ und $d$ zwei beliebige Glieder gegeben sind: $d$ ist dann die Änderung des Werts geteilt durch den Abstand der Nummern, $d=(a_m-a_k)/(m-k)$. Beim Fahrradverleih etwa aus $a_4=35$ und $a_{10}=65$: Zwischen dem 4. und dem 10. Tag liegen 6 Schritte, also $d=30/6=5$, und zurück zum ersten Tag sind es 3 Schritte, $a_1=35-3\cdot 5=20$.

Die Summe einer arithmetischen Folge: Mathematik (CBK)

Um die ersten $n$ Glieder zusammenzuzählen, brauchst du nicht jedes einzeln. Das erste und das letzte Glied ergeben zusammen dasselbe wie das zweite und das vorletzte, weil das eine um $d$ größer und das andere um $d$ kleiner ist. Die Summe ist also die Zahl der Glieder mal der Mittelwert aus erstem und letztem Glied:

$$\begin{array}{rl}{s}_n& =n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}\\ & =\frac{n}{2}\cdot (2a_1+(n-1)\cdot d)\end{array}$$

In den ersten 14 Tagen vermietet der Verleih $s_{14}=14\cdot (20+85)/2=735$ Räder. Die zweite Form der Formel brauchst du, wenn $a_n$ nicht gegeben ist; sie setzt das $n$-te Glied schon ein.

14 · 105 / 2 = 735 Räder

Unsere Berechnung

Zahlen aus dem Beispiel des Artikels (eigene Zahlen, keine Prüfungsaufgabe): a₁ = 20, d = 5, also a₁₄ = 20 + 13 · 5 = 85.

Die umgedrehte Folge beginnt mit 85 und sinkt um 5. An jedem Tag k liegen a_k und a_15−k übereinander, und beide ändern sich um 5 in entgegengesetzter Richtung, deshalb ist jede Säule gleich hoch: 20 + 85 = 25 + 80 = … = 85 + 20 = 105.

Die beiden Treppen füllen ein Rechteck aus 14 · 105 = 1470. Eine Treppe ist die Hälfte: 1470 / 2 = 735. Einzeln zusammengezählt: 20 + 25 + 30 + 35 + 40 + 45 + 50 + 55 + 60 + 65 + 70 + 75 + 80 + 85 = 735.

In die erste Form gehört das $n$-te Glied, $a_1+(n-1)\cdot d$. Wer stattdessen $a_1+n\cdot d$ einsetzt, rechnet mit dem Glied danach als letztem Glied. Auch beim Zählen der Glieder liegt ein Fehler nahe: Vom 5. bis zum 14. Tag sind es $14-5+1=10$ Tage, weil beide Enden mitzählen.

Perioden bis zu einer Grenze berechnen: Mathematik (CBK)

Die dritte Rechnung dreht die Summe um: Nach wie vielen Perioden erreicht die Summe einen bestimmten Wert. Dann ist $n$ gesucht, und die Summenformel wird zu einer quadratischen Gleichung. Gesucht ist etwa der Tag, nach dem der Fahrradverleih zusammen mindestens 600 Räder vermietet hat. Die Summe nach $n$ Tagen ist $\frac{n}{2}\cdot (40+(n-1)\cdot 5)=\frac{n}{2}\cdot (35+5n)$, und mit $\frac{2}{5}$ multipliziert wird die Bedingung zu:

$$\begin{array}{rl}\frac{n}{2}\cdot (35+5n)& =600\\ n\cdot (7+n)& =240\\ n^2+7n-240& =0\end{array}$$

Die Lösungsformel mit $p=7$ und $q=-240$ gibt als positive Lösung $n=-3,5+\sqrt{3,5^2+240}=-3,5+\sqrt{252,25}\approx 12,4$. Die negative Lösung hat hier keine Bedeutung, eine Zahl von Tagen ist nie negativ. Nach 12 Tagen sind es erst $s_{12}=570$ Räder, nach 13 Tagen $s_{13}=650$. Die Antwort ist 13: Gesucht ist die erste ganze Periode, nach der die Grenze erreicht ist, also rundest du auf, auch wenn die Nachkommastelle klein ist.

n ≈ 12,4, aufgerundet 13 Tage

Unsere Berechnung

Zahlen aus dem Beispiel des Artikels (eigene Zahlen, keine Prüfungsaufgabe): a₁ = 20, d = 5, Grenze 600 Räder.

Summe nach n Tagen: s_n = n/2 · (40 + (n − 1) · 5) = n/2 · (35 + 5n). Jede Säule ist die vorige plus die Räder des neuen Tages.

Tag	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Räder am Tag	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80
insgesamt	20	45	75	110	150	195	245	300	360	425	495	570	650

Die Kurve ist dieselbe Formel für jedes n, auch zwischen zwei Tagen. Sie erreicht 600 bei n/2 · (35 + 5n) = 600, also n² + 7n − 240 = 0, positive Lösung n = −3,5 + √252,25 ≈ 12,38. Tag 12,4 gibt es nicht: nach Tag 12 sind es 570, nach Tag 13 650, also 13.

Die beiden Summen zum Schluss sind zugleich die Probe für jedes Ergebnis dieser Art: Mit der gerundeten Zahl muss die Summe die Grenze erreichen, mit einer Periode weniger darunter bleiben. Hast du abgerundet oder mit dem Glied statt mit der Summe gerechnet, zeigt sich das an einer der beiden Rechnungen.

Übungsaufgaben zu arithmetischen Folgen: Mathematik (CBK)

Die Prüfung besteht aus 20 Multiple-Choice-Fragen mit je 5 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Eine richtige Antwort bringt 1 Punkt. Die ersten 3 falschen Antworten kosten nichts, jede weitere kostet 0,25 Punkte; bestanden ist ab 11 Punkten.¹

Die drei Aufgaben haben wir für diesen Artikel geschrieben, in diesem Format. Geschichte, Zahlen und Wortlaut sind unsere eigenen, keine davon stammt aus einer Prüfung der WU oder aus dem Lehrbuch. Jede falsche Antwort ist das Ergebnis eines typischen Fehlers. Rechne zuerst selbst, dann zeigt die Lösung den Rechenweg, den typischen Fehler und wie du Antworten ausschließt.

Übungsaufgabe 1Lineare und quadratische Funktionen

Ein Start-up gewinnt im ersten Monat 140 neue Kund:innen, danach jeden Monat 18 mehr als im Monat davor. Wie viele neue Kund:innen gewinnt es im 15. Monat?

1. a)252
2. b)266
3. c)270
4. d)392
5. e)410

Genau eine Antwort ist richtig.

Lösung und Punkte für jede Wahl+

Rechenweg

1. Erstes Glied a₁ = 140, Differenz d = 18.
2. Bis zum 15. Monat kommt der Zuwachs 14-mal dazu: a₁₅ = a₁ + (15 − 1) · d.
3. a₁₅ = 140 + 14 · 18 = 392.

a)

Falsch. Nur die Zuwächse gezählt, der Startwert fehlt: 14 · 18.

0 oder −0,25

b)

Falsch. Der Durchschnitt der ersten 15 Monate statt des Werts im 15. Monat: (140 + 392) / 2.

0 oder −0,25

c)

Falsch. Startwert vergessen und 15 statt 14 Zuwächse: 15 · 18.

0 oder −0,25

d)

Richtig. a₁₅ = 140 + (15 − 1) · 18 = 392.

+1

e)

Falsch. n statt n − 1: 140 + 15 · 18.

0 oder −0,25

–

Leer gelassen.

0

Typischer Fehler. n statt n − 1. Im ersten Monat gibt es noch keinen Zuwachs, deshalb steht in der Formel n − 1. Mit 15 Zuwächsen kommst du auf 410.

Ausschließen vor dem Fertigrechnen. Jede mögliche Antwort ist 140 plus ein Vielfaches von 18. 252 und 270 liegen 112 und 130 über 140, beides keine Vielfachen von 18. Damit fallen die Antworten a und c weg, es bleiben drei.

Ein Tipp unter den 3 übrigen trifft mit Wahrscheinlichkeit 1/3. Er bringt im Schnitt ≈ 0,33 Punkte, solange deine drei freien Fehler reichen, und ≈ 0,17 danach.

Übungsaufgabe 2Lineare und quadratische Funktionen

Ein Unternehmen zahlt einen Kredit in Quartalsraten zurück, die jedes Quartal um denselben Betrag sinken. Die 3. Rate beträgt 880 GE (Geldeinheiten), die 8. Rate 780 GE. Wie viel zahlt es mit den ersten 12 Raten zusammen?

1. a)8.760 GE
2. b)8.910 GE
3. c)9.240 GE
4. d)9.600 GE
5. e)9.720 GE

Genau eine Antwort ist richtig.

Lösung und Punkte für jede Wahl+

Rechenweg

1. Von der 3. zur 8. Rate sind es 8 − 3 = 5 Schritte: d = (780 − 880) / 5 = −20.
2. Erste Rate a₁ = a₃ − 2d = 880 + 40 = 920, zwölfte Rate a₁₂ = 920 + 11 · (−20) = 700.
3. s₁₂ = 12 · (a₁ + a₁₂) / 2 = 12 · (920 + 700) / 2 = 9.720 GE.

a)

Falsch. Beim Zurückrechnen zur 1. Rate das Vorzeichen vertauscht: a₁ = 880 − 40 = 840, a₁₂ = 620.

0 oder −0,25

b)

Falsch. Mit 11 statt 12 Raten multipliziert: 11 · (920 + 700) / 2.

0 oder −0,25

c)

Falsch. Die 3. Rate als erste Rate genommen: 12 · (880 + 660) / 2.

0 oder −0,25

d)

Falsch. Das falsche letzte Glied: a₁ + 12d = 680 statt a₁₂ = a₁ + 11d = 700.

0 oder −0,25

e)

Richtig. s₁₂ = 12 · (920 + 700) / 2 = 9.720.

+1

–

Leer gelassen.

0

Typischer Fehler. Das falsche letzte Glied. In die Summenformel gehört die 12. Rate, a₁ + 11d. Wer a₁ + 12d = 680 einsetzt, rechnet mit der 13. Rate und kommt auf 9.600 GE.

Ausschließen vor dem Fertigrechnen. Die Raten sinken. 1. und 12., 2. und 11. Rate und so weiter ergeben paarweise dieselbe Summe wie 6. und 7. Rate, also ist der Durchschnitt aller 12 Raten der Durchschnitt von 6. und 7. Rate. Er liegt unter dem Durchschnitt von 3. und 8. Rate, 830 GE, und über der 8. Rate, 780 GE. Die Summe liegt also zwischen 12 · 780 = 9.360 und 12 · 830 = 9.960 GE. Damit fallen die Antworten a, b und c weg, es bleiben zwei.

Ein Tipp unter den 2 übrigen trifft mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Er bringt im Schnitt 0,5 Punkte, solange deine drei freien Fehler reichen, und 0,375 danach.

Übungsaufgabe 3Lineare und quadratische Funktionen

Ein Onlineshop verschickt in der ersten Woche 60 Pakete, danach jede Woche 8 mehr als in der Woche davor. Nach wie vielen Wochen hat er insgesamt mindestens 1.000 Pakete verschickt?

1. a)10
2. b)11
3. c)16
4. d)17
5. e)119

Genau eine Antwort ist richtig.

Lösung und Punkte für jede Wahl+

Rechenweg

1. Summe nach n Wochen: sₙ = n · (2 · 60 + (n − 1) · 8) / 2 = 4n² + 56n.
2. 4n² + 56n = 1.000 ist gleichwertig mit n² + 14n − 250 = 0; die positive Lösung ist n = −7 + √299 ≈ 10,3.
3. Nach 10 Wochen sind es 960 Pakete, nach 11 Wochen 1.100. Die Antwort ist 11.

a)

Falsch. Richtig gerechnet, aber abgerundet: Nach 10 Wochen sind es erst 960 Pakete.

0 oder −0,25

b)

Richtig. n ≈ 10,3, aufgerundet: Nach 11 Wochen sind es 1.100 Pakete.

+1

c)

Falsch. Ohne Zuwachs gerechnet und abgerundet: 1.000 / 60 ≈ 16,7.

0 oder −0,25

d)

Falsch. Ohne Zuwachs gerechnet: 1.000 / 60 ≈ 16,7, aufgerundet.

0 oder −0,25

e)

Falsch. Das Glied statt der Summe: Erst in der 119. Woche verschickt der Shop in einer einzigen Woche mindestens 1.000 Pakete.

0 oder −0,25

–

Leer gelassen.

0

Typischer Fehler. Abrunden. n ≈ 10,3 heißt: Nach 10 Wochen ist die Grenze noch nicht erreicht. Gefragt ist die erste ganze Woche, nach der die Summe mindestens 1.000 beträgt, also rundest du auf.

Ausschließen vor dem Fertigrechnen. Schon mit 60 Paketen pro Woche wären es nach 16 Wochen 16 · 60 = 960, und allein die Zuwächse der Wochen 2 bis 4 bringen 8 + 16 + 24 = 48 dazu. Nach 16 Wochen sind es also mehr als 1.000, die Antwort ist höchstens 16: Damit fallen die Antworten d und e weg, es bleiben drei.

Ein Tipp unter den 3 übrigen trifft mit Wahrscheinlichkeit 1/3. Er bringt im Schnitt ≈ 0,33 Punkte, solange deine drei freien Fehler reichen, und ≈ 0,17 danach.

Prüfungsregeln und Hilfsmittel der Mathematik-Prüfung im CBK

Welche der 20 Fragen welches Kapitel abfragt, veröffentlicht die WU nicht. Dieser Artikel folgt dem Aufbau des Lehrbuchs, in dem die arithmetischen Folgen und ihre Summierung ein Abschnitt des ersten Kapitels sind.²

Einen Taschenrechner darfst du verwenden, aber keinen mit Funktionen für Differential-, Integral- oder Matrizenrechnung, keinen, der lineare Gleichungssysteme löst, und keinen mit Textspeicher. Wer nicht Deutsch als Muttersprache hat, darf ein Wörterbuch mitnehmen; mehr erlaubt der Syllabus nicht.¹ Für die quadratische Gleichung rechnest du mit der Lösungsformel und ziehst die Wurzel mit dem Rechner.

Formelsammlungen und Uhren jeder Art verbietet die Prüfungsrichtlinie der WU, soweit der Syllabus nichts anderes sagt.³ Eine eigene Formelsammlung darfst du also nicht mitbringen, und ob bei der Prüfung eine ausgeteilt wird, schreibt die WU nicht. Die Formeln für $a_n$ und $s_n$ solltest du deshalb auswendig können. Die Summenformel kannst du dir zur Not selbst herleiten, indem du erstes und letztes Glied paarst.

Nächster Schritt nach den arithmetischen Folgen: Mathematik (CBK)

1. Lies im frei zugänglichen Lehrbuch von Birgit Rudloff und Achim Zeileis den Abschnitt Arithmetische Folgen mit der Summierung von Folgen.⁴ Rechne danach die drei Aufgaben oben, ohne vorher in die Lösung zu sehen.
2. Hast du eine falsch, such in der Lösung den Fehler, der zu deiner Antwort gehört. War es ein Zählfehler, schreib dir künftig vor dem Rechnen auf, welches Glied gesucht ist und wie viele Glieder die Summe hat.
3. Kosten, Erlös und das Monopol aus demselben Kapitel behandelt der Artikel über Kosten, Erlös und Monopol. Termine und Anmeldung zur Prüfung stehen im Überblick zur Mathematik-Prüfung im CBK.

Quellen

1. 1Syllabus 0003 Mathematik (LVP), Wintersemester 2026/27WU Wien, Vorlesungsverzeichnis · Seite ohne Datum · geprüft am 27. September 2026
2. 2Rudloff, Zeileis: Mathematik für Wirtschaftswissenschaften, Kapitel 1: Lineare und quadratische Funktionenmathe4wiwi.org · Seite ohne Datum · geprüft am 26. September 2026
3. 3Richtlinie zur Abhaltung von Präsenzprüfungen, 2026 (PDF)WU Wien · Dokument vom 2. März 2026 · geprüft am 27. September 2026
4. 4Rudloff, Zeileis: Mathematik für Wirtschaftswissenschaften (Online-Buch, Version 2023)mathe4wiwi.org · Seite ohne Datum · geprüft am 26. September 2026