Zinseszins, Laufzeit und geometrische Folgen in der Mathematik (CBK) der WU

Das zweite der neun Themen im Syllabus der Mathematik im CBK an der WU Wien heißt „Elementare Finanzmathematik“. Die Unterthemen nennt der Syllabus nicht, eine genaue Übersicht steht laut Syllabus auf den Mathematikseiten auf Canvas.¹ Im Lehrbuch von Birgit Rudloff, die die Lehrveranstaltung leitet, und Achim Zeileis hat das zweite Kapitel denselben Titel. Seine ersten drei Abschnitte handeln davon, wie ein Kapital mit Zinsen wächst, wie lange es bis zu einem Zielbetrag braucht und wie du Beträge zusammenzählst, die von Periode zu Periode um denselben Faktor wachsen.

Du brauchst dafür Potenzen, Wurzeln und für die Laufzeit den Logarithmus, alles auf dem Taschenrechner. Hilfe gibt es laut Syllabus im Forum auf Canvas und im Walk-In-Tutorial, in dem du Übungsaufgaben mit Betreuung rechnest.¹ Vier Fehler sind typisch: einfache Verzinsung statt Zinseszins, eine Laufzeit, die in die falsche Richtung gerundet ist, der Zinssatz dort, wo der Faktor eins plus Zinssatz hingehört, und eine falsch gezählte Zahl von Gliedern.

Einfache Verzinsung und Zinseszins: Mathematik (CBK)

Ein Kapital $K_0$ wird zum Zinssatz $i$ pro Jahr angelegt, bei 6 % ist $i=0,06$. Bei der einfachen Verzinsung gibt es jedes Jahr Zinsen nur auf das Anfangskapital, und nach $n$ Jahren ist das Kapital $K_n=K_0\cdot (1+n\cdot i)$. Beim Zinseszins, der zusammengesetzten Verzinsung, werden die Zinsen am Ende jedes Jahres dem Kapital zugeschlagen und ab dann mitverzinst. Das Kapital wird also jedes Jahr mit demselben Faktor $q=1+i$ multipliziert, dem Aufzinsungsfaktor:

$$K_n=K_0\cdot q^n$$

Bei einfacher Verzinsung bringt jedes Jahr dieselben Zinsen, 6 % von 300 GE (Geldeinheiten), also 18 GE, und nach 10 Jahren hast du 480 GE. Beim Zinseszins kommen zu diesen 18 GE jedes Jahr noch die Zinsen auf die bisherigen Zinsen dazu: im zweiten Jahr zusätzlich 6 % von 18 GE, also 1,08 GE, insgesamt 19,08 GE. Im dritten Jahr kommen zu den 18 GE dann 6 % der bis dahin angesammelten 18 + 19,08 = 37,08 GE Zinsen dazu, also 2,22 GE, und so wächst der Zuwachs von Jahr zu Jahr. Nach 10 Jahren sind es $300\cdot 1,06^{10}\approx 537,25$ GE, 57,25 GE mehr als mit einfachen Zinsen.

Unsere Berechnung

Zahlen aus dem Beispiel des Artikels (eigene Zahlen, keine Prüfungsaufgabe): Kapital 300 GE, Zinssatz 6 % p. a., Laufzeit 10 Jahre.

Kapital nach n Jahren mit Zinseszins: K_n = 300 · 1,06ⁿ. Zinsen im Jahr n: K_n − K_n−1 = 0,06 · K_n−1 = 18 + 0,06 · (K_n−1 − 300), also 18 GE auf die 300 GE und 6 % auf alle bisherigen Zinsen. Einfache Zinsen: 18 · n.

Jahr	Kapital am Jahresende	Zinsen im Jahr	davon Zinsen auf Zinsen	Zinsen insgesamt	einfache Zinsen insgesamt
0	300,00			0,00	0,00
1	318,00	18,00	0,00	18,00	18,00
2	337,08	19,08	1,08	37,08	36,00
3	357,30	20,22	2,22	57,30	54,00
4	378,74	21,44	3,44	78,74	72,00
5	401,47	22,72	4,72	101,47	90,00
6	425,56	24,09	6,09	125,56	108,00
7	451,09	25,53	7,53	151,09	126,00
8	478,15	27,07	9,07	178,15	144,00
9	506,84	28,69	10,69	206,84	162,00
10	537,25	30,41	12,41	237,25	180,00

Nach 10 Jahren: 300 · 1,06¹⁰ ≈ 537,25 GE, Zinsen insgesamt 237,25 GE statt 180 GE, Unterschied 57,25 GE. Werte auf Cent gerundet.

Die Formel lässt sich nach jeder ihrer Größen umstellen. Nach $K_0$ umgestellt gibt sie den Barwert, den Betrag, den du heute anlegen musst, um nach $n$ Jahren $K_n$ zu haben: $K_0=K_n/q^n$, das Abzinsen. Für 480 GE in 10 Jahren sind das bei 6 % heute $480/1,06^{10}\approx 268,03$ GE. Nach $q$ umgestellt gibt sie den Zinssatz, mit dem aus 300 GE in 10 Jahren 480 GE werden, über die zehnte Wurzel: $q=(480/300{)}^{1/10}=1,6^{0,1}$, am Rechner $1,6$ hoch $0,1$, also ein Zinssatz von rund 4,81 %.

Wer beim Zinseszins mit $K_0\cdot (1+n\cdot i)$ rechnet, bekommt die einfache Verzinsung und liegt im Beispiel um 57,25 GE zu tief. Dagegen hilft vor allem genaues Lesen: Steht im Aufgabentext, dass Zinsen mitverzinst oder dem Kapital zugeschlagen werden, ist es Zinseszins. Wer als Faktor $q=0,06$ statt $1,06$ nimmt, bekommt ein Ergebnis unter dem Anfangskapital und sieht den Fehler sofort.

Laufzeit mit dem Logarithmus berechnen: Mathematik (CBK)

Ist die Laufzeit gesucht, steht $n$ im Exponenten. Wann werden aus 300 GE bei 6 % mindestens 480 GE, heißt: $300\cdot 1,06^n=480$, also $1,06^n=1,6$. Den Exponenten holst du mit dem Logarithmus herunter, denn für jeden Logarithmus gilt $\ln (q^n)=n\cdot \ln q$. Du logarithmierst beide Seiten, $n\cdot \ln 1,06=\ln 1,6$, und teilst durch $\ln 1,06$:

$$n=\frac{\ln (K_n/K_0)}{\ln q}=\frac{\ln 1,6}{\ln 1,06}\approx 8,07$$

Welchen Logarithmus du nimmst, ist gleich, solange oben und unten derselbe steht; am Rechner nimmst du ln.

Nach 8 Jahren sind es erst $300\cdot 1,06^8\approx 478,15$ GE, knapp unter dem Ziel, nach 9 Jahren $506,84$ GE. Werden die Zinsen am Jahresende gutgeschrieben oder fragt die Aufgabe nach vollen Jahren, ist das Ziel also erst nach 9 Jahren erreicht: Du rundest auf, auch wenn die Nachkommastelle so klein ist wie hier. Mit denselben zwei Rechnungen prüfst du jedes Ergebnis dieser Art: Mit der gerundeten Zahl muss das Kapital das Ziel erreichen, mit einem Jahr weniger darunter bleiben.

Mit einfachen Zinsen würde es 10 Jahre dauern, weil jedes Jahr nur 18 GE dazukommen. Eine Laufzeit in vollen Jahren, die mit Zinseszins länger ist als mit einfachen Zinsen, ist deshalb immer falsch. Die Zeit, bis sich ein Kapital verdoppelt, hängt nur vom Zinssatz ab und nicht vom Betrag: Bei 6 % ist $n=\ln 2/\ln 1,06\approx 11,90$, also 12 volle Jahre.

Geometrische Folgen und ihre Summe: Mathematik (CBK)

Die Kapitalwerte Jahr für Jahr bilden eine geometrische Folge: Jedes Glied ist das vorige mal demselben Faktor $q$. Bei den arithmetischen Folgen kommt jedes Mal derselbe Betrag dazu, hier wird mit demselben Faktor multipliziert. Mit dem ersten Glied $a_1$ ist das $n$-te Glied $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$, denn bis dahin kommt der Faktor $n-1$ Mal dazu. Beim Kapital steht $q^n$, weil die Folge dort mit $K_0$ beginnt, dem Kapital nach null Jahren: Nach $n$ Jahren ist der Faktor $n$-mal dazugekommen.

Eine App gewinnt im ersten Monat 32 neue Nutzer:innen und danach jeden Monat um die Hälfte mehr als im Monat davor, also 32, 48, 72, 108, 162 und 243. Um ihre Summe $s_6$ zu berechnen, multiplizierst du die ganze Summe mit $q=1,5$: Jedes Glied wird dabei zum nächsten, 32 zu 48, 48 zu 72 und so weiter. Aus dem letzten Glied 243 wird dabei $243\cdot 1,5=364,5$, das siebte Glied. Ziehst du die ursprüngliche Summe ab, heben sich fünf Glieder weg, und es bleiben nur dieses neue letzte Glied und das alte erste: $1,5\cdot s_6-s_6=364,5-32=332,5$. Links steht $0,5\cdot s_6$, also ist $s_6=332,5/0,5=665$.

s₆ = 332,5 / 0,5 = 665

Unsere Berechnung

Zahlen aus dem Beispiel des Artikels (eigene Zahlen, keine Prüfungsaufgabe): a₁ = 32, q = 1,5, n = 6.

Die Glieder: 32 · 1,5 = 48, 48 · 1,5 = 72, 72 · 1,5 = 108, 108 · 1,5 = 162, 162 · 1,5 = 243. Mal 1,5 genommen wird jedes Glied zum nächsten, und aus dem letzten wird 243 · 1,5 = 364,5, das siebte Glied a₇.

Obere Reihe minus untere Reihe: 48, 72, 108, 162 und 243 stehen in beiden und fallen weg. Es bleibt 364,5 − 32 = 332,5. Links steht 1,5 · s₆ − s₆ = 0,5 · s₆, also s₆ = 332,5 / 0,5 = 665.

Probe, einzeln zusammengezählt: 32 + 48 + 72 + 108 + 162 + 243 = 665. Mit der Summenformel: 32 · (1,5⁶ − 1) / (1,5 − 1) = 32 · 10,390625 / 0,5 = 665.

Derselbe Schritt gibt allgemein die Summe der ersten $n$ Glieder, für jeden Faktor $q\ne 1$:

$$s_n=a_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}$$

Im Exponenten steht die Zahl der Glieder. Wer für sechs Monate mit $q^5$ rechnet, weil das sechste Glied $a_1\cdot q^5$ ist, zählt nur fünf Glieder zusammen. Auch hier ist $q$ der Faktor, bei 5 % Wachstum $1,05$.

Übungsaufgaben zu Zinsen und geometrischen Folgen: Mathematik (CBK)

Die Prüfung besteht aus 20 Multiple-Choice-Fragen mit je 5 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Eine richtige Antwort bringt 1 Punkt. Die ersten 3 falschen Antworten kosten nichts, jede weitere kostet 0,25 Punkte; bestanden ist ab 11 Punkten.¹

Die drei Aufgaben unten haben wir in diesem Format geschrieben; Sachverhalt, Zahlen und Wortlaut sind unsere eigenen, keine stammt aus einer Prüfung der WU oder aus dem Lehrbuch. Jede falsche Antwort ist das Ergebnis eines typischen Fehlers. Rechne zuerst selbst, dann zeigt die Lösung den Rechenweg, den typischen Fehler und wie du Antworten ausschließt.

Übungsaufgabe 1Elementare Finanzmathematik

Welchen Betrag musst du heute zu 4 % p. a. mit Zinseszins anlegen, damit du in 5 Jahren 3.000 GE (Geldeinheiten) hast (gerundet)?

1. a)2.400,00 GE
2. b)2.446,12 GE
3. c)2.465,78 GE
4. d)2.500,00 GE
5. e)2.564,41 GE

Genau eine Antwort ist richtig.

Lösung und Punkte für jede Wahl+

Rechenweg

1. Gesucht ist der Barwert: K₅ = K₀ · 1,04⁵ = 3.000, also K₀ = 3.000 / 1,04⁵.
2. 1,04⁵ ≈ 1,2166529.
3. K₀ = 3.000 / 1,2166529 ≈ 2.465,78 GE.

a)

Falsch. Einfache Zinsen vom Endwert abgezogen: 3.000 · (1 − 5 · 0,04).

0 oder −0,25

b)

Falsch. Mit 1 − i abgezinst, also mit 0,96⁵ multipliziert statt durch 1,04⁵ geteilt.

0 oder −0,25

c)

Richtig. Barwert K₀ = 3.000 / 1,04⁵ ≈ 2.465,78.

+1

d)

Falsch. Einfache Verzinsung statt Zinseszins: 3.000 / (1 + 5 · 0,04).

0 oder −0,25

e)

Falsch. Ein Jahr zu wenig abgezinst: 3.000 / 1,04⁴.

0 oder −0,25

–

Leer gelassen.

0

Typischer Fehler. Einfache Verzinsung statt Zinseszins. Wer durch 1 + 5 · 0,04 = 1,2 teilt, lässt die Zinsen auf die Zinsen weg und kommt auf 2.500 GE. Beim Zinseszins wird durch 1,04⁵ geteilt, und das ist mehr als 1,2.

Ausschließen vor dem Fertigrechnen. Mit Zinseszins wächst Geld schneller als mit einfachen Zinsen, heute brauchst du also weniger als bei einfacher Verzinsung, weniger als 3.000 / 1,2 = 2.500 GE. Und durch 1,04 zu teilen nimmt jedes Jahr weniger als 4 % weg, in fünf Jahren also weniger als 5 · 4 % = 20 % von 3.000 GE: Der Barwert liegt über 2.400 GE. Damit fallen die Antworten a, d und e weg, es bleiben zwei.

Ein Tipp unter den 2 übrigen trifft mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Er bringt im Schnitt 0,5 Punkte, solange deine drei freien Fehler reichen, und 0,375 danach.

Übungsaufgabe 2Elementare Finanzmathematik

Ein Kapital von 2.000 GE (Geldeinheiten) wird zu 4,5 % p. a. angelegt; die Zinsen werden am Jahresende gutgeschrieben und ab dann mitverzinst. Nach wie vielen vollen Jahren beträgt es erstmals mindestens 3.400 GE?

1. a)12
2. b)13
3. c)15
4. d)16
5. e)28

Genau eine Antwort ist richtig.

Lösung und Punkte für jede Wahl+

Rechenweg

1. 2.000 · 1,045ⁿ = 3.400, also 1,045ⁿ = 1,7.
2. Logarithmieren: n = ln 1,7 / ln 1,045 ≈ 0,5306 / 0,0440 ≈ 12,06.
3. Nach 12 Jahren sind es 3.391,76 GE, nach 13 Jahren 3.544,39 GE. Die Antwort ist 13.

a)

Falsch. Richtig gerechnet, aber abgerundet: Nach 12 Jahren sind es erst 3.391,76 GE.

0 oder −0,25

b)

Richtig. n = ln 1,7 / ln 1,045 ≈ 12,06, aufgerundet: Nach 13 Jahren sind es 3.544,39 GE.

+1

c)

Falsch. Mit einfachen Zinsen gerechnet, jedes Jahr 90 GE, und abgerundet: 1.400 / 90 ≈ 15,6.

0 oder −0,25

d)

Falsch. Mit einfachen Zinsen gerechnet: 1.400 / 90 ≈ 15,6, aufgerundet.

0 oder −0,25

e)

Falsch. Zwei verschiedene Logarithmen gemischt, ln im Zähler und lg im Nenner: ln 1,7 / lg 1,045 ≈ 27,76, aufgerundet.

0 oder −0,25

–

Leer gelassen.

0

Typischer Fehler. Abrunden. n ≈ 12,06 sieht nach 12 aus, aber nach 12 Jahren fehlen noch rund 8 GE. Die Zinsen kommen nur am Jahresende dazu, also ist das Ziel erst nach 13 vollen Jahren erreicht.

Ausschließen vor dem Fertigrechnen. Probier eine Zahl aus, eine Potenz genügt: 1,045¹⁴ ≈ 1,85, das ist mehr als 3.400 / 2.000 = 1,7. Nach 14 Jahren ist das Ziel also sicher erreicht, die Antwort ist höchstens 14. Damit fallen die Antworten c, d und e weg, es bleiben zwei.

Ein Tipp unter den 2 übrigen trifft mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Er bringt im Schnitt 0,5 Punkte, solange deine drei freien Fehler reichen, und 0,375 danach.

Übungsaufgabe 3Elementare Finanzmathematik

Eine Lizenzgebühr beträgt im ersten Jahr 2.000 GE (Geldeinheiten) und steigt danach jedes Jahr um 5 %. Wie viel wird in den ersten 10 Jahren zusammen gezahlt (ohne Zinsen, gerundet)?

1. a)20.000,00 GE
2. b)22.053,13 GE
3. c)24.500,00 GE
4. d)25.155,79 GE
5. e)26.413,57 GE

Genau eine Antwort ist richtig.

Lösung und Punkte für jede Wahl+

Rechenweg

1. Die Gebühren sind eine geometrische Folge mit a₁ = 2.000 und q = 1,05; gesucht ist die Summe von 10 Gliedern.
2. 1,05¹⁰ ≈ 1,62889463.
3. s₁₀ = 2.000 · (1,62889463 − 1) / 0,05 ≈ 25.155,79 GE.

a)

Falsch. Die Steigerung vergessen: 10 · 2.000.

0 oder −0,25

b)

Falsch. Nur 9 Glieder gezählt, weil die 10. Gebühr 2.000 · 1,05⁹ ist: 2.000 · (1,05⁹ − 1) / 0,05.

0 oder −0,25

c)

Falsch. Die Steigerung als festen Betrag gerechnet, jedes Jahr 5 % von 2.000 = 100 GE mehr: eine arithmetische statt einer geometrischen Folge, 10 · (2.000 + 2.900) / 2.

0 oder −0,25

d)

Richtig. s₁₀ = 2.000 · (1,05¹⁰ − 1) / 0,05 ≈ 25.155,79.

+1

e)

Falsch. Die Steigerung schon im ersten Jahr gerechnet, also mit 2.000 · 1,05 = 2.100 als erstem Glied: 2.100 · (1,05¹⁰ − 1) / 0,05.

0 oder −0,25

–

Leer gelassen.

0

Typischer Fehler. Die falsche Zahl von Gliedern. Im Exponenten der Summenformel steht, wie viele Glieder zusammengezählt werden, hier 10. Die 10. Gebühr ist 2.000 · 1,05⁹; wer diese 9 in die Summenformel übernimmt, zählt nur 9 Jahre und kommt auf 22.053,13 GE.

Ausschließen vor dem Fertigrechnen. Steigt die Gebühr jedes Jahr um 5 % der Vorjahresgebühr, steigt sie jedes Jahr um mindestens 100 GE, ab dem dritten Jahr um mehr. Die Summe liegt also über der mit einer festen Steigerung um 100 GE, 10 · (2.000 + 2.900) / 2 = 24.500 GE. Damit fallen die Antworten a, b und c weg, es bleiben zwei.

Ein Tipp unter den 2 übrigen trifft mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Er bringt im Schnitt 0,5 Punkte, solange deine drei freien Fehler reichen, und 0,375 danach.

Rechner, Formeln und Zeit in der Mathematik-Prüfung im CBK

Welche der 20 Fragen welches Kapitel abfragt, veröffentlicht die WU nicht. Dieser Artikel folgt dem Aufbau des Lehrbuchs, in dem Verzinsungsmodelle, Laufzeiten und geometrische Folgen die ersten drei Abschnitte des zweiten Kapitels sind.²

Einen Taschenrechner darfst du verwenden, aber keinen mit Funktionen für Differential-, Integral- oder Matrizenrechnung, keinen, der lineare Gleichungssysteme löst, und keinen mit Textspeicher.¹ Für dieses Kapitel brauchst du am Rechner Potenzen, Wurzeln und den Logarithmus. Prüf vor der Prüfung, dass dein Modell eine Taste für ln hat und dass du Potenzen mit Kommazahlen im Exponenten eingeben kannst.

Formelsammlungen und Uhren jeder Art verbietet die Prüfungsrichtlinie der WU, soweit der Syllabus nichts anderes sagt.³ Eine eigene Formelsammlung darfst du also nicht mitbringen, und ob bei der Prüfung eine ausgeteilt wird, schreibt die WU nicht. Die Formeln für $K_n$ und $s_n$ solltest du deshalb auswendig können. Für die Laufzeit brauchst du keine eigene Formel: Du logarithmierst $K_n=K_0\cdot q^n$, wie oben gezeigt.

Der Prüfungsplan reserviert zwei Stunden für die ganze Prüfung; wie lange du tatsächlich schreibst, nennt der Syllabus nicht.⁴ Auf 20 Fragen verteilt sind das höchstens sechs Minuten pro Frage.

Nächster Schritt nach Zinsen und geometrischen Folgen: Mathematik (CBK)

1. Rechne die drei Aufgaben oben, bevor du die Lösung öffnest. Schreib dir vorher $K_n=K_0\cdot q^n$ und die Summenformel aus dem Gedächtnis auf.
2. Hast du eine falsch, such in der Lösung den Fehler zu deiner Antwort. War es die Laufzeit, mach künftig die Probe mit der gerundeten Zahl und mit einem Jahr weniger. War es eine Summe, zähl vor dem Rechnen die Glieder. Mehr Übung dazu findest du im frei zugänglichen Lehrbuch von Birgit Rudloff und Achim Zeileis, im zweiten Kapitel, Elementare Finanzmathematik.⁵
3. Renten, also regelmäßige gleich hohe Zahlungen, sind eine Summe genau dieser Art; sie und die unterjährige und stetige Verzinsung behandelt der Artikel über Renten und stetige Verzinsung. Termine und Anmeldung zur Prüfung stehen im Überblick zur Mathematik-Prüfung im CBK.

Quellen

1. 1Syllabus 0003 Mathematik (LVP), Wintersemester 2026/27WU Wien, Vorlesungsverzeichnis · Seite ohne Datum · geprüft am 27. September 2026
2. 2Rudloff, Zeileis: Mathematik für Wirtschaftswissenschaften, Kapitel 2: Elementare Finanzmathematikmathe4wiwi.org · Seite ohne Datum · geprüft am 27. September 2026
3. 3Richtlinie zur Abhaltung von Präsenzprüfungen, 2026 (PDF)WU Wien · Dokument vom 2. März 2026 · geprüft am 27. September 2026
4. 4Prüfungsplan Semestermitte WiSe 2026/27, Prüfungswoche November 2026 (PDF)WU Wien, Prüfungsorganisation · Dokument vom 30. März 2026 · geprüft am 27. September 2026
5. 5Rudloff, Zeileis: Mathematik für Wirtschaftswissenschaften (Online-Buch, Version 2023)mathe4wiwi.org · Seite ohne Datum · geprüft am 26. September 2026