Renten, unterjährige und stetige Verzinsung in der Mathematik (CBK) der WU

Das zweite der neun Themen im Syllabus der Mathematik im CBK an der WU Wien heißt „Elementare Finanzmathematik“. Die Unterthemen nennt der Syllabus nicht, eine genaue Übersicht steht laut Syllabus auf den Mathematikseiten auf Canvas.¹ Im Lehrbuch von Birgit Rudloff, die die Lehrveranstaltung leitet, und Achim Zeileis hat das zweite Kapitel denselben Titel. Seine späteren Abschnitte handeln von Renten, also regelmäßigen, gleich hohen Zahlungen, von Zinsen, die mehrmals im Jahr verrechnet werden, und von der stetigen Verzinsung mit der eulerschen Zahl.

Die Formeln bauen auf dem Zinseszins und der Summe einer geometrischen Folge auf, die der Artikel über Zinseszins, Laufzeit und geometrische Folgen erklärt. Hilfe gibt es laut Syllabus im Forum auf Canvas und im Walk-In-Tutorial, in dem du Übungsaufgaben mit Betreuung rechnest.¹ Typische Fehler entstehen hier beim Lesen: ob die erste Zahlung am Anfang oder am Ende der Periode kommt, ob ein Zinssatz pro Jahr oder pro Monat gilt und ob er nominell oder effektiv gemeint ist.

Barwert und Endwert einer Rente: Mathematik (CBK)

Eine Rente ist in der Finanzmathematik jede Reihe gleich hoher Zahlungen $R$ in gleichen Abständen. Kommt jede Zahlung am Ende ihrer Periode, heißt die Rente nachschüssig, kommt sie am Anfang, vorschüssig. Gefragt ist nach dem Barwert, dem Wert aller Zahlungen am Anfang, oder nach dem Endwert, ihrem Wert nach der letzten Periode.

Eine Rente von 40 GE (Geldeinheiten), 8 Jahre lang jeweils am Jahresende gezahlt, ist bei 5 % Zinsen heute nicht 8 · 40 = 320 GE wert. Jede Zahlung wird auf den Zeitpunkt 0 abgezinst, und zwar umso stärker, je später sie kommt: Die erste ist heute $40/1,05\approx 38,10$ GE wert, die letzte nur noch $40/1,05^8\approx 27,07$ GE. Zusammen ergeben die acht abgezinsten Zahlungen den Barwert der Rente, 258,53 GE.

Unsere Berechnung

Zahlen aus dem Beispiel des Artikels (eigene Zahlen, keine Prüfungsaufgabe): Rate R = 40 GE, Zinssatz i = 5 %, also q = 1,05, Laufzeit n = 8 Jahre, Zahlung jeweils am Jahresende (nachschüssig).

Die Zahlung am Ende von Jahr k ist heute 40 / 1,05^k wert.

Jahr k	1	2	3	4	5	6	7	8
Zahlung	40	40	40	40	40	40	40	40
heute wert	38,10	36,28	34,55	32,91	31,34	29,85	28,43	27,07

Summe: 38,10 + 36,28 + … + 27,07 ≈ 258,53 GE, gleich der Rentenbarwertformel 40 · (1 − 1,05⁻⁸) / 0,05 ≈ 258,53 GE. Gezahlt werden insgesamt 8 · 40 = 320 GE.

Die abgezinsten Zahlungen $R/q,R/q^2,\dots ,R/q^n$ sind eine geometrische Folge mit dem ersten Glied $R/q$ und dem Faktor $1/q$. Die Summenformel gibt $B=\frac{R}{q}\cdot \frac{1-q^{-n}}{1-1/q}$, und weil $\frac{1}{q}\cdot \frac{1}{1-1/q}=\frac{1}{q-1}$ ist, vereinfacht sich das zur ersten der beiden Formeln der nachschüssigen Rente. Den Endwert bekommst du, indem du den Barwert $n$ Jahre aufzinst, $E=B\cdot q^n$; das ist die zweite. Dabei ist $q=1+i$ und deshalb $q-1=i$ im Nenner:

$$B=R\cdot \frac{1-q^{-n}}{q-1},E=R\cdot \frac{q^n-1}{q-1}$$

Im Beispiel ist $B=40\cdot (1-1,05^{-8})/0,05\approx 258,53$ GE und $E=40\cdot (1,05^8-1)/0,05\approx 381,96$ GE. Mit $E=B\cdot q^n$ kannst du jedes Ergebnis prüfen. Mit dem schon gerundeten Barwert gibt $258,53\cdot 1,05^8$ auf dem Rechner 381,97; der eine Cent Unterschied kommt nur vom Runden.

Bei der vorschüssigen Rente steht jede Zahlung am Anfang ihrer Periode statt am Ende. Jede liegt damit ein Jahr näher am Zeitpunkt 0 und ein Jahr weiter vom Ende entfernt, und Barwert und Endwert sind genau um den Faktor $q$ größer: $B\cdot q\approx 271,45$ GE heute, $E\cdot q\approx 401,06$ GE am Ende. Welche Formel gilt, hängt nur davon ab, wann die erste Zahlung kommt; lies das im Aufgabentext, bevor du rechnest: „am Jahresende“ oder „erstmals in einem Jahr“ heißt nachschüssig, „am Jahresanfang“ oder „ab sofort“ vorschüssig. Die falsche Wahl ergibt das $q$-Fache der richtigen Antwort oder die richtige Antwort durch $q$, oft eine der fünf Antworten.

Die ewige Rente: Mathematik (CBK)

Läuft eine Rente ohne Ende, wird $q^{-n}$ mit wachsendem $n$ beliebig klein, und vom Barwert bleibt $B=R/i$. Die ewige Rente von 40 GE im Jahr ist bei 5 % heute also $40/0,05=800$ GE wert. Vorschüssig ist es wie bei jeder Rente das $q$-Fache, $800\cdot 1,05=840$ GE, also genau die 800 GE plus die erste Zahlung, die sofort kommt. Anders gesagt: Wer 800 GE zu 5 % anlegt, kann jedes Jahr die 40 GE Zinsen abheben, ohne das Kapital anzugreifen.

Unterjährige Verzinsung und effektiver Jahreszins: Mathematik (CBK)

Oft ist ein Jahreszinssatz angegeben, verrechnet wird aber monatlich oder vierteljährlich. Der angegebene Satz heißt dann nomineller Zinssatz; in diesem Abschnitt ist $i$ dieser nominelle Jahreszins. Bei $m$ Verrechnungen im Jahr gibt es pro Periode $i/m$ Zinsen, und nach einem Jahr ist ein Kapital auf das $(1+i/m{)}^m$-Fache gewachsen. Der Satz, der bei einmal jährlicher Verrechnung dasselbe bringt, heißt effektiver Jahreszins:

$$i_{\text{eff}}={\left(1+\frac{i}{m}\right)}^m-1$$

Bei nominell 9 % werden aus 100 GE in einem Jahr bei jährlicher Verrechnung 109 GE, bei halbjährlicher $100\cdot 1,045^2\approx 109,20$ GE, bei vierteljährlicher $100\cdot (1+0,09/4{)}^4\approx 109,31$ GE und bei monatlicher $100\cdot (1+0,09/12{)}^{12}\approx 109,38$ GE. Mit jeder Verfeinerung kommt weniger dazu, und die Werte nähern sich einer Grenze von 109,42 GE, der stetigen Verzinsung aus dem nächsten Abschnitt. Der effektive Jahreszins bei monatlicher Verrechnung ist also 9,38 %.

Unsere Berechnung

Zahlen aus dem Beispiel des Artikels (eigene Zahlen, keine Prüfungsaufgabe): Startkapital 100 GE, nomineller Jahreszins i = 9 %, Laufzeit ein Jahr.

K_m = 100 · (1 + 0,09/m)^m, K_stetig = 100 · e^0,09

Verrechnung	m	Kapital in GE	effektiver Jahreszins
jährlich	1	109,0000	9,00 %
halbjährlich	2	109,2025	9,20 %
alle vier Monate	3	109,2727	9,27 %
vierteljährlich	4	109,3083	9,31 %
alle zwei Monate	6	109,3443	9,34 %
monatlich	12	109,3807	9,38 %
wöchentlich	52	109,4089	9,41 %
täglich	365	109,4162	9,42 %
stetig	∞	109,4174	9,42 %

Die Kapitalachse reicht von 109,00 bis 109,45 GE, sie beginnt also nicht bei 0. Die m-Achse ist logarithmisch: jede Verdopplung von m ist gleich breit. Die kleinen Punkte (m = 3, 6, 52, 365) sind mit derselben Formel gerechnet und zeigen nur, wie gleichmäßig sich die Werte der Grenze nähern.

Rechnest du über mehrere Jahre, zählst du in Perioden: Bei monatlicher Verrechnung sind 3 Jahre 36 Perioden zum Satz $i/12$. Monatszins und Laufzeit in Jahren, oder Jahreszins und Laufzeit in Monaten, in dieselbe Formel zu setzen, ist ein häufiger Fehler. Schreib deshalb vor dem Rechnen den Zinssatz pro Periode und die Zahl der Perioden nebeneinander auf und prüf, ob beide dieselbe Periode meinen.

Stetige Verzinsung mit e und ln: Mathematik (CBK)

Wird immer feiner verrechnet, nähert sich $(1+i/m{)}^m$ dem Wert $e^i$, mit der eulerschen Zahl $e\approx 2,718$. Das ist die stetige oder kontinuierliche Verzinsung, und $i$ ist hier der stetige Zinssatz: Nach $t$ Jahren ist ein Kapital auf

$$K_t=K_0\cdot e^{i\cdot t}$$

gewachsen. Bei stetigen 9 % werden aus 100 GE in einem Jahr $100\cdot e^{0,09}\approx 109,42$ GE, der effektive Jahreszins ist 9,42 %. Abgezinst wird mit dem negativen Exponenten, $K_0=K_t\cdot e^{-i\cdot t}$.

Die Umkehrung von $e^x$ ist der natürliche Logarithmus ln, und mit ihm holst du Laufzeit oder Zinssatz aus dem Exponenten. Aus $K_0\cdot e^{it}=K_t$ folgt $i\cdot t=\ln (K_t/K_0)$, also $t=\ln (K_t/K_0)/i$ und $i=\ln (K_t/K_0)/t$. Ein stetig mit 9 % verzinstes Kapital hat sich nach $\ln 2/0,09\approx 7,70$ Jahren verdoppelt. Umgekehrt bringt ein stetiger Satz von $\ln 1,09$, also rund 8,62 %, genau so viel wie 9 % mit jährlicher Verrechnung. Ist ein stetiger Zinssatz gegeben, rechnest du mit $e^{it}$. Ist dagegen ein effektiver Jahreszins gegeben, bleibt der Faktor $1+i$ pro Jahr, auch wenn das Kapital stetig verzinst wird; den stetigen Satz dazu gibt $\ln (1+i)$.

Übungsaufgaben zu Renten und Verzinsung: Mathematik (CBK)

Die Prüfung besteht aus 20 Multiple-Choice-Fragen mit je 5 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Eine richtige Antwort bringt 1 Punkt. Die ersten 3 falschen Antworten kosten nichts, jede weitere kostet 0,25 Punkte; bestanden ist ab 11 Punkten.¹

Die drei Aufgaben unten haben wir in diesem Format geschrieben; Sachverhalt, Zahlen und Wortlaut sind unsere eigenen, keine stammt aus einer Prüfung der WU oder aus dem Lehrbuch. Jede falsche Antwort ist das Ergebnis eines typischen Fehlers. Rechne zuerst selbst, dann zeigt die Lösung den Rechenweg, den typischen Fehler und wie du Antworten ausschließt.

Übungsaufgabe 1Elementare Finanzmathematik

Ein Kredit wird in 36 Monatsraten zu 250 GE (Geldeinheiten) zurückgezahlt, die erste einen Monat nach der Auszahlung. Der Zinssatz ist nominell 6 % p. a. bei monatlicher Verrechnung. Wie hoch ist der ausgezahlte Kreditbetrag (gerundet)?

1. a)8.019,04 GE
2. b)8.217,75 GE
3. c)8.258,84 GE
4. d)9.000,00 GE
5. e)9.834,03 GE

Genau eine Antwort ist richtig.

Lösung und Punkte für jede Wahl+

Rechenweg

1. Monatszins 6 % / 12 = 0,5 %, also q = 1,005; 36 Perioden. Die erste Rate kommt am Ende des ersten Monats: nachschüssig.
2. 1,005⁻³⁶ ≈ 0,83564492, also 1 − 1,005⁻³⁶ ≈ 0,16435508.
3. Barwert = 250 · 0,16435508 / 0,005 ≈ 8.217,75 GE.

a)

Falsch. In Jahren statt in Monaten gerechnet: 12 Raten zu einer Jahresrate von 3.000 GE zusammengefasst, mit 6 % über 3 Jahre, 3.000 · (1 − 1,06⁻³) / 0,06. Das zinst jede Rate so ab, als käme sie erst am Jahresende.

0 oder −0,25

b)

Richtig. Barwert der nachschüssigen Rente: 250 · (1 − 1,005⁻³⁶) / 0,005 ≈ 8.217,75.

+1

c)

Falsch. Vorschüssig gerechnet, als käme die erste Rate sofort: 8.217,75 · 1,005.

0 oder −0,25

d)

Falsch. Die Zinsen ganz vergessen und die Raten einfach addiert: 36 · 250.

0 oder −0,25

e)

Falsch. Den Endwert statt des Barwerts berechnet: 250 · (1,005³⁶ − 1) / 0,005.

0 oder −0,25

–

Leer gelassen.

0

Typischer Fehler. Der Zeitpunkt der ersten Zahlung. „Einen Monat nach der Auszahlung“ heißt nachschüssig. Mit der Formel für die vorschüssige Rente wird jede Rate einen Monat weniger abgezinst, und das Ergebnis ist genau um den Faktor q = 1,005 zu groß: 8.258,84 GE.

Ausschließen vor dem Fertigrechnen. Der Kreditbetrag ist der Wert der Raten zum Zeitpunkt der Auszahlung. Abgezinst ist jede Rate weniger wert als 250 GE, zusammen also weniger als 36 · 250 = 9.000 GE. Damit fallen 9.000 GE und alles darüber weg, also die Antworten d und e, es bleiben drei.

Ein Tipp unter den 3 übrigen trifft mit Wahrscheinlichkeit 1/3. Er bringt im Schnitt ≈ 0,33 Punkte, solange deine drei freien Fehler reichen, und ≈ 0,17 danach.

Übungsaufgabe 2Elementare Finanzmathematik

Ein Kreditrahmen wird mit nominell 12 % p. a. verzinst, die Zinsen werden monatlich verrechnet. Wie hoch ist der effektive Jahreszins (gerundet)?

1. a)11,39 %
2. b)12,00 %
3. c)12,68 %
4. d)12,75 %
5. e)112,68 %

Genau eine Antwort ist richtig.

Lösung und Punkte für jede Wahl+

Rechenweg

1. Monatszins 12 % / 12 = 1 %, also 12 Perioden mit dem Faktor 1,01.
2. In einem Jahr wächst ein Kapital auf das 1,01¹²-Fache, 1,01¹² ≈ 1,12683.
3. Effektiver Jahreszins 1,12683 − 1 ≈ 12,68 %.

a)

Falsch. In die falsche Richtung umgerechnet: den nominellen Satz bestimmt, der effektiv 12 % ergibt, 12 · (1,12^(1/12) − 1).

0 oder −0,25

b)

Falsch. Den nominellen Zinssatz für den effektiven gehalten.

0 oder −0,25

c)

Richtig. 1,01¹² − 1 ≈ 0,1268: Zwölfmal 1 % mit Zinseszins.

+1

d)

Falsch. Stetig statt monatlich verzinst: e^0,12 − 1 ≈ 0,1275.

0 oder −0,25

e)

Falsch. Den Faktor 1,01¹² ≈ 1,1268 für den Zinssatz gehalten, ohne 1 abzuziehen.

0 oder −0,25

–

Leer gelassen.

0

Typischer Fehler. Nominell und effektiv verwechselt. Die 12 % sind nur der Satz, aus dem der Monatszins berechnet wird. Weil jeder Monat auf die Zinsen der Vormonate Zinsen bringt, kostet der Kredit übers Jahr 12,68 %.

Ausschließen vor dem Fertigrechnen. Der effektive Jahreszins ist größer als der nominelle, weil die Zinsen jedes Monats in den folgenden Monaten mitverzinst werden. Viel größer kann er nicht sein, 112,68 % hieße, der Kredit hätte sich in einem Jahr mehr als verdoppelt. Damit fallen die Antworten a, b und e weg, es bleiben zwei.

Ein Tipp unter den 2 übrigen trifft mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Er bringt im Schnitt 0,5 Punkte, solange deine drei freien Fehler reichen, und 0,375 danach.

Übungsaufgabe 3Elementare Finanzmathematik

Welchen Betrag musst du heute anlegen, damit du bei stetiger Verzinsung mit 5 % p. a. in 6 Jahren 5.000 GE (Geldeinheiten) hast (gerundet)?

1. a)3.704,09 GE
2. b)3.731,08 GE
3. c)3.846,15 GE
4. d)4.756,15 GE
5. e)6.749,29 GE

Genau eine Antwort ist richtig.

Lösung und Punkte für jede Wahl+

Rechenweg

1. Stetige Verzinsung: K_t = K₀ · e^(i · t), also K₀ = K_t · e^(−i · t), mit i = 0,05 und t = 6.
2. i · t = 0,3 und e^(−0,3) ≈ 0,7408182.
3. K₀ = 5.000 · 0,7408182 ≈ 3.704,09 GE.

a)

Richtig. K₀ = 5.000 · e^(−0,05 · 6) = 5.000 · e^(−0,3) ≈ 3.704,09.

+1

b)

Falsch. Jährlich statt stetig abgezinst: 5.000 / 1,05⁶.

0 oder −0,25

c)

Falsch. Einfache Verzinsung: 5.000 / (1 + 6 · 0,05).

0 oder −0,25

d)

Falsch. Die Laufzeit im Exponenten vergessen, also nur ein Jahr abgezinst: 5.000 · e^(−0,05).

0 oder −0,25

e)

Falsch. Aufgezinst statt abgezinst: 5.000 · e^0,3.

0 oder −0,25

–

Leer gelassen.

0

Typischer Fehler. Jährlich statt stetig. 5.000 / 1,05⁶ zinst nur einmal im Jahr ab. Stetig bringt derselbe Zinssatz etwas mehr, e^0,05 ≈ 1,0513 pro Jahr statt 1,05, und deshalb brauchst du heute etwas weniger: 3.704,09 GE statt 3.731,08 GE.

Ausschließen vor dem Fertigrechnen. Heute brauchst du weniger als die 5.000 GE am Ende. Und mit Zinseszins, ob jährlich oder stetig, wächst Geld schneller als mit einfachen Zinsen; heute brauchst du also weniger als bei einfacher Verzinsung, weniger als 5.000 / 1,3 ≈ 3.846,15 GE. Damit fallen die Antworten c, d und e weg, es bleiben zwei.

Ein Tipp unter den 2 übrigen trifft mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Er bringt im Schnitt 0,5 Punkte, solange deine drei freien Fehler reichen, und 0,375 danach.

Zeit und Hilfsmittel in der Mathematik-Prüfung im CBK

Welche der 20 Fragen welches Kapitel abfragt, veröffentlicht die WU nicht. Dieser Artikel folgt dem Aufbau des Lehrbuchs. Dort stehen im zweiten Kapitel nach dem Zinseszins die Abschnitte Finanzmathematische Renten, Ewige Renten, Unterjährige Verzinsung, Exponentialfunktion und Logarithmus und Kontinuierliche Verzinsung.²

Einen Taschenrechner darfst du verwenden, aber keinen mit Funktionen für Differential-, Integral- oder Matrizenrechnung, keinen, der lineare Gleichungssysteme löst, und keinen mit Textspeicher.¹ Rechne die Potenz im Zähler zuerst und speichere sie, statt die ganze Formel in einem Zug einzutippen; so passieren weniger Klammerfehler.

Formelsammlungen und Uhren jeder Art verbietet die Prüfungsrichtlinie der WU, soweit der Syllabus nichts anderes sagt.³ Eine eigene Formelsammlung darfst du also nicht mitbringen, und ob bei der Prüfung eine ausgeteilt wird, schreibt die WU nicht. Auswendig brauchst du $B$ und $E$ der nachschüssigen Rente, den effektiven Jahreszins und $K_0\cdot e^{it}$. Der Rest folgt daraus: Vorschüssig multiplizierst du mit $q$, und die ewige Rente ist $R/i$.

Der Prüfungsplan reserviert zwei Stunden für die ganze Prüfung; wie lange du tatsächlich schreibst, nennt der Syllabus nicht.⁴ Auf 20 Fragen verteilt sind das höchstens sechs Minuten pro Frage.

Nächster Schritt nach Renten und Verzinsung: Mathematik (CBK)

1. Rechne die drei Aufgaben oben, bevor du die Lösung öffnest, und notiere bei jeder zuerst Rate, Zinssatz pro Periode, Zahl der Perioden und Zeitpunkt der ersten Zahlung.
2. Hast du eine falsch, such in der Lösung den Fehler zu deiner Antwort. War es vorschüssig oder nachschüssig, unterstreich künftig im Aufgabentext, wann die erste Zahlung kommt. Mehr Übung dazu findest du im frei zugänglichen Lehrbuch von Birgit Rudloff und Achim Zeileis, im zweiten Kapitel.⁵
3. Wenn der Zinseszins oder die Summenformel noch nicht sitzt, beginn mit dem Artikel über Zinseszins, Laufzeit und geometrische Folgen. Termine und Anmeldung zur Prüfung stehen im Überblick zur Mathematik-Prüfung im CBK.

Quellen

1. 1Syllabus 0003 Mathematik (LVP), Wintersemester 2026/27WU Wien, Vorlesungsverzeichnis · Seite ohne Datum · geprüft am 27. September 2026
2. 2Rudloff, Zeileis: Mathematik für Wirtschaftswissenschaften, Kapitel 2: Elementare Finanzmathematikmathe4wiwi.org · Seite ohne Datum · geprüft am 27. September 2026
3. 3Richtlinie zur Abhaltung von Präsenzprüfungen, 2026 (PDF)WU Wien · Dokument vom 2. März 2026 · geprüft am 27. September 2026
4. 4Prüfungsplan Semestermitte WiSe 2026/27, Prüfungswoche November 2026 (PDF)WU Wien, Prüfungsorganisation · Dokument vom 30. März 2026 · geprüft am 27. September 2026
5. 5Rudloff, Zeileis: Mathematik für Wirtschaftswissenschaften (Online-Buch, Version 2023)mathe4wiwi.org · Seite ohne Datum · geprüft am 26. September 2026