Ableitung, Ableitungsregeln und Kettenregel in der Mathematik (CBK) der WU

Das dritte der neun Themen im Syllabus der Mathematik im CBK an der WU Wien ist die Differentialrechnung; Unterthemen führt der Syllabus dazu keine auf.¹ Das Lehrbuch von Birgit Rudloff, die die Lehrveranstaltung leitet, und Achim Zeileis hat ein drittes Kapitel mit dem Titel „Differentialrechnung“. Seine ersten beiden Abschnitte erklären, was eine Ableitung ist, und geben die Regeln, mit denen du sie berechnest. Darauf bauen Grenzkosten, Elastizitäten und Optimierung auf.

Die typischen Fehler beim Ableiten sind kleine Auslassungen: eine vergessene innere Ableitung, ein fehlender Summand der Produktregel, ein verlorenes Minus. Fragen zu Übungsaufgaben kannst du laut Syllabus im Forum auf Canvas stellen, und im Walk-In-Tutorial rechnest du Aufgaben mit Betreuung.¹

Was eine Ableitung ist: Mathematik (CBK)

Wie stark sich eine Funktion $f$ zwischen den Stellen $x_0$ und $x_0+h$ im Mittel pro Einheit ändert, misst der Differenzenquotient $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$. Geometrisch ist er die Steigung der Sekante, der Geraden durch die beiden Kurvenpunkte. Lässt du $h$ gegen 0 gehen, rückt der zweite Punkt an den ersten heran, und aus der Sekante wird die Tangente. Der Grenzwert für $h$ gegen 0, geschrieben ${\lim }_{h\to 0}$, ist die Ableitung an der Stelle $x_0$:

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

Ein Beispiel mit $f(x)=4\sqrt{x}$ an der Stelle $x_0=4$, wo $f(4)=8$ ist. Mit $h=5$ reicht die Sekante bis $f(9)=12$ und hat die Steigung $(12-8)/5=0,8$. Mit $h=1$ ist die Steigung $4\sqrt{5}-8\approx 0,944$, mit $h=0,1$ rund $0,994$ und mit $h=0,01$ rund $0,999$. Je kleiner $h$, desto näher liegt die Sekante an der Tangente im Punkt $(4\mid 8)$, und ihre Steigung nähert sich 1.

Unsere Berechnung

Zahlen aus dem Beispiel des Artikels (eigene Zahlen, keine Prüfungsaufgabe): f(x) = 4 · √x an der Stelle x₀ = 4, also f(4) = 4 · 2 = 8. Der zweite Punkt ist Q = (4 + h | f(4 + h)).

Die Steigung der Sekante durch P und Q ist der Differenzenquotient (f(4 + h) − 8) / h, hier auf drei Stellen gerundet:

h	5	1	0,1	0,01
Steigung	0,8	0,944	0,994	0,999

Zum Beispiel (12 − 8) / 5 = 0,8 und (4 · √5 − 8) / 1 ≈ 0,944. Die Sekante für h = 5 endet in Q = (9 | 12).

Tangente: f′(x) = 4 · 1 / (2√x) = 2 / √x, also f′(4) = 2 / 2 = 1. Die Tangente in P ist y = 8 + 1 · (x − 4) = x + 4. Die x-Achse reicht bis 9, die y-Achse bis 13.

Die 1 ist die Ableitung $f^{\prime }(4)$. Mit zwei Regeln aus dem nächsten Abschnitt, der Potenzregel und der Regel für einen konstanten Faktor, bekommst du sie ohne Grenzwert: $f^{\prime }(x)=4\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{2}{\sqrt{x}}$, also $f^{\prime }(4)=2/2=1$. Der Grenzwert erklärt, was die Zahl bedeutet: Wächst $x$ um ein kleines $\Delta x$, ändert sich $f$ um ungefähr $f^{\prime }(x_0)\cdot \Delta x$, bei $f^{\prime }(4)=1$ also um etwa ebenso viel wie $x$. Das Vorzeichen der Ableitung zeigt außerdem, ob $f$ steigt oder fällt, also die Monotonie: Ist $f^{\prime }(x)>0$ auf einem Intervall, steigt $f$ dort, ist $f^{\prime }(x)<0$, fällt $f$. So steigt $4\sqrt{x}$ für jedes $x>0$, weil $2/\sqrt{x}$ dort positiv ist.

Potenz-, Summen- und Produktregel: Mathematik (CBK)

Die Potenzregel $(x^n{)}^{\prime }=n\cdot x^{n-1}$ gilt für jeden reellen Exponenten (bei negativen Exponenten für $x\ne 0$, bei nicht ganzzahligen für $x>0$), also auch für Wurzeln und Kehrwerte wie $1/x$, wenn du sie als Potenz schreibst: $\sqrt{x}=x^{1/2}$ hat die Ableitung $\frac{1}{2}{x}^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, und $\frac{1}{x}=x^{-1}$ hat die Ableitung $-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$. Das Minus kommt hier aus dem Exponenten. Geht es beim Umschreiben verloren, entsteht eine positive Ableitung, als stiege $1/x$, obwohl es fällt.

Ein konstanter Faktor bleibt stehen, $(c\cdot f{)}^{\prime }=c\cdot f^{\prime }$, und eine Summe leitest du Glied für Glied ab. Ein konstanter Summand fällt dabei weg, weil er sich nicht ändert. So wird aus $f(x)=3x^4-2x+7$ die Ableitung $f^{\prime }(x)=12x^3-2$.

Für ein Produkt zweier Funktionen $u$ und $v$ gilt die Produktregel:

$$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$$

Die Ableitungen einfach zu multiplizieren, $u^{\prime }\cdot v^{\prime }$, kann nicht stimmen, wie $x^2\cdot x^3=x^5$ zeigt: Die Ableitung ist $5x^4$, das Produkt der Ableitungen aber $2x\cdot 3x^2=6x^3$. Ebenso leicht geht einer der beiden Summanden verloren. Schreib deshalb vor dem Rechnen $u$, $u^{\prime }$, $v$ und $v^{\prime }$ untereinander auf und setz erst dann ein. Für Brüche gibt es eine eigene Quotientenregel; du kannst $u/v$ aber auch als Produkt $u\cdot v^{-1}$ schreiben und mit Produkt- und Kettenregel ableiten.

Kettenregel, e-Funktion und ln: Mathematik (CBK)

Steckt eine Funktion in einer anderen, etwa $(3x+1{)}^5$ oder $e^{0,2x}$, brauchst du die Kettenregel. Du leitest die äußere Funktion $u$ ab, setzt die innere $g(x)$ ein und multiplizierst mit $g^{\prime }(x)$, der inneren Ableitung:

$$(u(g(x)){)}^{\prime }=u^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$

So ist $((3x+1{)}^5{)}^{\prime }=5\cdot (3x+1{)}^4\cdot 3$, und die $3$ am Ende ist die innere Ableitung.

Die Exponentialfunktion ist ihre eigene Ableitung, $(e^x{)}^{\prime }=e^x$, und der natürliche Logarithmus hat die Ableitung $(\ln x{)}^{\prime }=1/x$ für $x>0$. Mit der Kettenregel folgen daraus die beiden Formen, die du in Aufgaben brauchst:

$$(e^{g(x)}{)}^{\prime }=e^{g(x)}\cdot g^{\prime }(x),(\ln g(x){)}^{\prime }=\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}$$

Bei $e^{0,3x^2-2x}$ bleibt der Exponent in der Ableitung oben unverändert stehen, und als Faktor kommt seine Ableitung dazu: $e^{0,3x^2-2x}\cdot (0,6x-2)$. Den Exponenten selbst als Faktor zu schreiben hieße, mit der inneren Funktion statt mit der inneren Ableitung zu rechnen. Bei einem negativen Exponenten wandert das Minus mit: $(e^{-0,2x}{)}^{\prime }=-0,2\cdot e^{-0,2x}$. Fehlt es, hat eine fallende Funktion eine positive Ableitung; die Monotonie ist deshalb eine schnelle Probe für das Vorzeichen. Beim Logarithmus steht die innere Ableitung im Zähler, die innere Funktion im Nenner. Prüfen lässt sich das an $(\ln (5x){)}^{\prime }=5/(5x)=1/x$: Wegen $\ln (5x)=\ln 5+\ln x$ fällt die Konstante $\ln 5$ beim Ableiten weg.

Eine Aufgabe mit Produkt- und Kettenregel: Mathematik (CBK)

Gesucht ist die Ableitung von

$$f(x)=(4x-3)\cdot e^{0,25x-0,5}$$

an der Stelle $x=2$. Das ist ein Produkt mit $u=4x-3$ und $v=e^{0,25x-0,5}$. Dann ist $u^{\prime }=4$, und $v^{\prime }$ braucht die Kettenregel: $v^{\prime }=e^{0,25x-0,5}\cdot 0,25$. Die Produktregel gibt

$$f^{\prime }(x)=4\cdot e^{0,25x-0,5}+(4x-3)\cdot 0,25\cdot e^{0,25x-0,5}$$

Die Stelle setzt du erst jetzt ein, wo die Ableitung fertig dasteht; eine vorher eingesetzte Zahl wäre eine Konstante mit der Ableitung 0. An der Stelle 2 ist der Exponent $0,5-0,5=0$, also $e^0=1$, und $4x-3=5$. Damit ist $f^{\prime }(2)=4\cdot 1+5\cdot 0,25\cdot 1=5,25$.

Ohne die innere Ableitung $0,25$ kommt $4+5=9$ heraus, mit dem Produkt der Ableitungen $4\cdot 0,25=1$ und mit nur einem Summanden der Produktregel 4 oder $1,25$. Als Probe kannst du $e^{0,25x-0,5}$ ausklammern: $f^{\prime }(x)=e^{0,25x-0,5}\cdot (x+3,5)$, und die Klammer gibt an der Stelle 2 wieder $5,25$.

Übungsaufgaben zu Ableitungen: Mathematik (CBK)

In der Prüfung stehen 20 Multiple-Choice-Fragen mit je 5 Antworten, und genau eine davon stimmt. Jede richtige Antwort bringt 1 Punkt; von den falschen kosten die ersten 3 nichts und jede weitere 0,25 Punkte. Zum Bestehen brauchst du 11 Punkte.¹

Die drei Aufgaben unten haben wir in diesem Format geschrieben; Funktionen, Zahlen und Wortlaut sind unsere eigenen, keine stammt aus einer Prüfung der WU oder aus dem Lehrbuch. Jede falsche Antwort ist das Ergebnis eines typischen Fehlers, meist eines der Fehler aus diesem Artikel. Die Lösung zeigt jeweils den Rechenweg, den typischen Fehler und wie du Antworten ausschließt.

Übungsaufgabe 1Differentialrechnung

Für f(x) = 5 · e^(0,2x² + x − 4) ist die Ableitung f′(3) (gerundet) gleich

1. a)4,90
2. b)8,90
3. c)11,13
4. d)13,35
5. e)24,48

Genau eine Antwort ist richtig.

Lösung und Punkte für jede Wahl+

Rechenweg

1. Innere Funktion g(x) = 0,2x² + x − 4, innere Ableitung g′(x) = 0,4x + 1. Kettenregel: f′(x) = 5 · e^(g(x)) · g′(x).
2. An der Stelle 3: g(3) = 1,8 + 3 − 4 = 0,8 und g′(3) = 1,2 + 1 = 2,2.
3. e^0,8 ≈ 2,2255409, also f′(3) = 5 · 2,2255409 · 2,2 ≈ 24,48.

a)

Falsch. Den konstanten Faktor 5 vergessen: e^0,8 · 2,2 ≈ 4,90.

0 oder −0,25

b)

Falsch. Mit der inneren Funktion statt mit der inneren Ableitung multipliziert: 5 · e^0,8 · 0,8 ≈ 8,90.

0 oder −0,25

c)

Falsch. Die innere Ableitung vergessen: 5 · e^0,8 ≈ 11,13. Das ist genau der Funktionswert f(3).

0 oder −0,25

d)

Falsch. Die innere Ableitung ohne das Glied +1 gebildet, also g′(x) = 0,4x statt 0,4x + 1: 5 · e^0,8 · 1,2 ≈ 13,35.

0 oder −0,25

e)

Richtig. Kettenregel: f′(3) = 5 · e^0,8 · 2,2 ≈ 24,48.

+1

–

Leer gelassen.

0

Typischer Fehler. Die innere Ableitung. Bei e^(g(x)) kommt immer der Faktor g′(x) dazu; nur wenn g′(x) = 1 ist, etwa bei e^(x + 5), sieht die Ableitung aus wie die Funktion. Hier ist g′(3) = 2,2. Ohne diesen Faktor steht 5 · e^0,8 ≈ 11,13 da, und das ist nur der Funktionswert f(3).

Ausschließen vor dem Fertigrechnen. Nach der Kettenregel ist f′(x) = f(x) · g′(x) mit dem Exponenten g(x) = 0,2x² + x − 4 und g′(x) = 0,4x + 1. Für jedes positive x ist g′(x) größer als 1, also ist f′(3) größer als f(3) = 5 · e^0,8 ≈ 11,13. Damit fallen die Antworten a, b und c weg, es bleiben d und e.

Ein Tipp unter den 2 übrigen trifft mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Er bringt im Schnitt 0,5 Punkte, solange deine drei freien Fehler reichen, und 0,375 danach.

Übungsaufgabe 2Differentialrechnung

Für f(x) = (x² + 3) · e^(0,5x) ist die Ableitung f′(2) (gerundet) gleich

1. a)5,44
2. b)9,51
3. c)19,03
4. d)20,39
5. e)29,90

Genau eine Antwort ist richtig.

Lösung und Punkte für jede Wahl+

Rechenweg

1. Produkt mit u = x² + 3, u′ = 2x, und v = e^(0,5x), v′ = 0,5 · e^(0,5x) (Kettenregel, innere Ableitung 0,5).
2. f′(x) = 2x · e^(0,5x) + (x² + 3) · 0,5 · e^(0,5x). An der Stelle 2 ist u = 7 und e^(0,5 · 2) = e ≈ 2,7182818.
3. f′(2) = 4e + 7 · 0,5 · e = 7,5e = 7,5 · 2,7182818 ≈ 20,39.

a)

Falsch. Die Ableitungen multipliziert statt die Produktregel verwendet: 2x · 0,5 · e^(0,5x) an der Stelle 2, also 2e ≈ 5,44.

0 oder −0,25

b)

Falsch. Den ersten Summanden der Produktregel verloren, nur (x² + 3) · 0,5 · e^(0,5x) gerechnet: 7 · 0,5 · e = 3,5e ≈ 9,51.

0 oder −0,25

c)

Falsch. Den Funktionswert statt der Ableitung berechnet: f(2) = 7 · e ≈ 19,03.

0 oder −0,25

d)

Richtig. Produktregel mit Kettenregel: f′(2) = 4e + 7 · 0,5 · e = 7,5e ≈ 20,39.

+1

e)

Falsch. Im zweiten Summanden die innere Ableitung 0,5 vergessen: 4e + 7e = 11e ≈ 29,90.

0 oder −0,25

–

Leer gelassen.

0

Typischer Fehler. Die innere Ableitung im zweiten Summanden. Ohne den Faktor 0,5 in v′ steht 4e + 7e = 11e ≈ 29,90 da statt 20,39. Fehlt der erste Summand ganz, bleiben 3,5e ≈ 9,51; schreib deshalb u, u′, v und v′ untereinander, bevor du einsetzt.

Ausschließen vor dem Fertigrechnen. Beide Summanden der Produktregel, 2x · e^(0,5x) und (x² + 3) · 0,5 · e^(0,5x), sind an der Stelle 2 positiv. Die Ableitung ist also größer als der erste Summand allein, 4e ≈ 10,87. Damit fallen die Antworten a und b weg, es bleiben drei.

Ein Tipp unter den 3 übrigen trifft mit Wahrscheinlichkeit 1/3. Er bringt im Schnitt ≈ 0,33 Punkte, solange deine drei freien Fehler reichen, und ≈ 0,17 danach.

Übungsaufgabe 3Differentialrechnung

Für f(x) = ln(0,1x² − x + 4) ist die Ableitung f′(8) (gerundet) gleich

1. a)0,25
2. b)0,42
3. c)0,67
4. d)0,88
5. e)4,00

Genau eine Antwort ist richtig.

Lösung und Punkte für jede Wahl+

Rechenweg

1. Innere Funktion g(x) = 0,1x² − x + 4, innere Ableitung g′(x) = 0,2x − 1. Kettenregel: f′(x) = g′(x) / g(x).
2. An der Stelle 8: g(8) = 6,4 − 8 + 4 = 2,4 und g′(8) = 1,6 − 1 = 0,6.
3. f′(8) = 0,6 / 2,4 = 0,25.

a)

Richtig. Kettenregel: f′(8) = g′(8) / g(8) = 0,6 / 2,4 = 0,25.

+1

b)

Falsch. Die innere Ableitung vergessen, also nur (ln x)′ = 1/x angewendet: 1 / 2,4 ≈ 0,42.

0 oder −0,25

c)

Falsch. Die innere Ableitung ohne das Glied −1 gebildet, also g′(x) = 0,2x statt 0,2x − 1: 1,6 / 2,4 ≈ 0,67.

0 oder −0,25

d)

Falsch. Den Funktionswert statt der Ableitung berechnet: f(8) = ln 2,4 ≈ 0,88.

0 oder −0,25

e)

Falsch. Den Bruch verkehrt herum geschrieben, innere Funktion durch innere Ableitung: 2,4 / 0,6 = 4.

0 oder −0,25

–

Leer gelassen.

0

Typischer Fehler. Die innere Ableitung. Die Ableitung von ln(g(x)) ist immer g′(x) / g(x); nur wenn g′(x) = 1 ist, etwa bei ln(x + 5), steht eine 1 im Zähler. Hier ist g′(8) = 0,6. Ohne diesen Faktor steht 1 / 2,4 ≈ 0,42 da. Und beim Ableiten von g geht leicht das −1 verloren, dann wird aus 0,6 im Zähler 1,6 und aus 0,25 ein Wert von 0,67.

Ausschließen vor dem Fertigrechnen. Die Ableitung ist der Bruch g′(8) / g(8). Der Zähler g′(8) = 0,2 · 8 − 1 = 0,6 ist kleiner als 1, der Nenner g(8) = 6,4 − 8 + 4 = 2,4 größer als 2, der Bruch also kleiner als 1/2 = 0,5. Damit fallen 0,67, 0,88 und 4,00 weg, also die Antworten c, d und e, es bleiben a und b.

Ein Tipp unter den 2 übrigen trifft mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Er bringt im Schnitt 0,5 Punkte, solange deine drei freien Fehler reichen, und 0,375 danach.

Ableiten von Hand in der Mathematik-Prüfung im CBK

Wie sich die 20 Fragen auf die Kapitel verteilen, gibt die WU nicht bekannt; dieser Artikel folgt deshalb dem Aufbau des Lehrbuchs. Dessen drittes Kapitel beginnt mit dem Abschnitt „Die Ableitung einer Funktion“, der von den „Differenzenquotienten“ ausgeht. Darauf folgt „Differenzieren“ mit den Unterabschnitten „Elementare Ableitungsregeln“, „Die Kettenregel“ und „Exponentialfunktion und Logarithmus“.²

Erlaubt ist ein Taschenrechner ohne Zusatzfunktionen für Differential-, Integral- und Matrizenrechnung; Geräte, die lineare Gleichungssysteme lösen oder einen Textspeicher haben, sind ebenfalls verboten.¹ Jede Ableitung rechnest du also von Hand, und der Rechner liefert nur Zahlenwerte wie $e^{0,5}$.

Die Prüfungsrichtlinie der WU verbietet Formelsammlungen und Uhren jeder Art, sofern der Syllabus nichts anderes vorsieht.³ Eine eigene Formelsammlung bringst du also nicht mit, und ob in der Prüfung eine ausgeteilt wird, ist offen. Auswendig brauchst du die Potenzregel, die Produktregel, die Kettenregel und die Ableitungen von $e^x$ und $\ln x$. Die Formen $e^{g(x)}$ und $\ln g(x)$ folgen daraus mit der Kettenregel.

Für die ganze Prüfung sind im Prüfungsplan zwei Stunden reserviert; die reine Schreibzeit steht nicht im Syllabus.⁴ Bei 20 Fragen bleiben dir damit höchstens sechs Minuten für jede. Sitzen die Regeln, bleibt davon Zeit für die Probe durch Ausklammern oder über das Vorzeichen.

Nächster Schritt nach den Ableitungsregeln: Mathematik (CBK)

1. Rechne die drei Aufgaben oben, bevor du die Lösung öffnest, und schreib bei jeder zuerst die innere Funktion und ihre Ableitung auf.
2. Hast du eine falsch, such in der Lösung den Fehler zu deiner Antwort. War es die innere Ableitung, rahme sie künftig ein, bevor du weiterrechnest. Mehr Übung dazu findest du im frei zugänglichen Lehrbuch von Birgit Rudloff und Achim Zeileis, im dritten Kapitel.⁵
3. Wie aus der Ableitung eine Aussage über Kosten und Nachfrage wird, zeigt der Artikel über Grenzkosten, Elastizität und Optimierung. Termine und Anmeldung zur Prüfung stehen im Überblick zur Mathematik-Prüfung im CBK.

Quellen

1. 1Syllabus 0003 Mathematik (LVP), Wintersemester 2026/27WU Wien, Vorlesungsverzeichnis · Seite ohne Datum · geprüft am 27. September 2026
2. 2Rudloff, Zeileis: Mathematik für Wirtschaftswissenschaften, Kapitel 3: Differentialrechnungmathe4wiwi.org · Seite ohne Datum · geprüft am 27. September 2026
3. 3Richtlinie zur Abhaltung von Präsenzprüfungen, 2026 (PDF)WU Wien · Dokument vom 2. März 2026 · geprüft am 27. September 2026
4. 4Prüfungsplan Semestermitte WiSe 2026/27, Prüfungswoche November 2026 (PDF)WU Wien, Prüfungsorganisation · Dokument vom 30. März 2026 · geprüft am 27. September 2026
5. 5Rudloff, Zeileis: Mathematik für Wirtschaftswissenschaften (Online-Buch, Version 2023)mathe4wiwi.org · Seite ohne Datum · geprüft am 26. September 2026