Grenzkosten, Elastizität und Optimierung in der Mathematik (CBK) der WU

Das dritte der neun Themen im Syllabus der Mathematik im CBK an der WU Wien ist die Differentialrechnung; welche Unterthemen dazugehören, nennt der Syllabus nicht.¹ Im Lehrbuch von Birgit Rudloff, die die Lehrveranstaltung leitet, und Achim Zeileis hat das dritte Kapitel denselben Titel. Seine späteren Abschnitte fragen, was eine zusätzliche Einheit kostet, wie stark die Nachfrage auf den Preis reagiert und bei welcher Menge der Gewinn am größten ist.

Leicht verwechselt werden dabei Grenzkosten und Stückkosten, eine Elastizität und ihr Kehrwert und die Minima verschiedener Kostenkurven. Hilfe gibt es laut Syllabus im Forum auf Canvas und im Walk-In-Tutorial, in dem du Übungsaufgaben mit Betreuung rechnest.¹

Grenzkosten und Stückkosten: Mathematik (CBK)

Eine Kostenfunktion $K(x)$ gibt an, wie viele GE (Geldeinheiten) die Herstellung von $x$ ME (Mengeneinheiten) kostet. Ihre Ableitung $K^{\prime }(x)$ heißt Grenzkosten und sagt, um wie viel die Kosten ungefähr steigen, wenn eine Einheit dazukommt. Unser Beispiel ist

$$K(x)=0,25x^3-3x^2+19x+60,K^{\prime }(x)=0,75x^2-6x+19$$

mit Fixkosten von 60 GE, die auch bei null Stück anfallen.

Die Herstellung von 8 ME kostet $K(8)=148$ GE, die Grenzkosten sind dort $K^{\prime }(8)=48-48+19=19$ GE. Was die neunte Einheit wirklich kostet, ist $K(9)-K(8)=170,25-148=22,25$ GE. Die Grenzkosten schätzen diesen Zuwachs mit der Tangente, und weil die Kurve hier immer steiler wird, liegt die Schätzung darunter.

Verwechselt werden die Grenzkosten meist mit den Stückkosten $k(x)=K(x)/x$, den Kosten, die im Schnitt auf jede Einheit fallen, bei 8 ME also $148/8=18,5$ GE. Fragt eine Aufgabe nach den Grenzkosten, ist das die falsche Antwort, die knapp neben den richtigen 19 GE liegt.

Relative Änderungsrate und Elastizität: Mathematik (CBK)

Grenzkosten messen eine Änderung absolut, in GE pro ME. Die relative Änderungsrate $f^{\prime }(x)/f(x)$ misst sie im Verhältnis zur Größe selbst. Für die Nachfrage $x(p)=120-4p$, mit dem Preis $p$ in GE und der Menge $x$ in ME, ist $x^{\prime }(p)=-4$. Beim Preis 20 werden 40 ME nachgefragt, und die relative Änderungsrate ist $-4/40=-0,1$: Eine GE mehr senkt die Nachfrage dort um 10 %.

Die Preiselastizität der Nachfrage sagt, um wie viel Prozent sich die Menge ungefähr ändert, wenn der Preis um 1 % steigt. Sie ist die relative Änderungsrate mal dem Preis:

$$\epsilon (p)=x^{\prime }(p)\cdot \frac{p}{x(p)}$$

Beim Preis 20 ist $\epsilon =20\cdot (-0,1)=-2$: 1 % teurer heißt rund 2 % weniger Nachfrage. Das Minus gehört dazu, denn die Nachfrage fällt, wenn der Preis steigt; ohne Vorzeichen ist 2 nur richtig, wenn die Aufgabe ausdrücklich den Betrag verlangt. Der verkehrte Bruch $x/(x^{\prime }\cdot p)$ ergibt den Kehrwert, hier −0,5.

Entlang der Nachfragegeraden ändert sich die Elastizität: $\epsilon (p)=-4p/(120-4p)$ ist beim Preis 10 gleich −0,5, bei 15 gleich −1 und bei 20 gleich −2. Ist ihr Betrag kleiner als 1, heißt die Nachfrage unelastisch, ist er größer, elastisch. Das entscheidet über den Erlös $p\cdot x(p)$: 800 GE beim Preis 10, 900 GE bei 15, wieder 800 GE bei 20. Bei unelastischer Nachfrage sinkt die Menge um weniger als 1 %, wenn der Preis um 1 % steigt, und der Erlös $p\cdot x$ wächst; bei elastischer sinkt er. Am größten ist er beim Preis 15, wo $|\epsilon |=1$ ist. Das ist die Hälfte des Prohibitivpreises 30, bei dem niemand mehr kauft; bei linearer Nachfrage liegt das Erlösmaximum immer dort.

Unsere Berechnung

Zahlen aus dem Beispiel des Artikels (eigene Zahlen, keine Prüfungsaufgabe): Nachfrage x(p) = 120 − 4p, Prohibitivpreis 30 GE.

ε(p) = x′(p) · p / x(p) = −4p / (120 − 4p), E(p) = p · x(p) = 120p − 4p²

Preis p	10	15	20
Menge x(p)	80	60	40
ε(p)	−0,5	−1	−2
Erlös E(p)	800	900	800

Bei einer Geraden gilt die Prozentangabe genau: Steigt p = 10 um 1 % auf 10,1, sinkt x von 80 auf 79,6, also um 0,5 %. Der Erlös ist am größten, wo E′(p) = 120 − 8p = 0 ist, bei p = 15, und genau dort ist ε = −60 / 60 = −1. Die Marke während der Animation rechnet mit dem ganzen Preis, den sie nennt.

Kurvendiskussion der Kostenfunktion: Mathematik (CBK)

Zurück zur Kostenfunktion. Ihre zweite Ableitung $K^{\prime \prime }(x)=1,5x-6$ beschreibt die Wölbung: Unter 4 ME ist sie negativ, $K$ ist konkav und steigt immer langsamer; über 4 ME ist $K$ konvex und steigt immer schneller. Bei $x=4$ liegt der Wendepunkt. Dort ist $K^{\prime \prime }$, die Ableitung der Grenzkosten, gleich 0 und wechselt von negativ zu positiv, also haben die Grenzkosten dort ihr Minimum, $K^{\prime }(4)=12-24+19=7$ GE. Damit ist überall $K^{\prime }(x)>0$: $K$ steigt.

Gewinnoptimierung und Betriebsminimum: Mathematik (CBK)

Bei vollständiger Konkurrenz ist das Unternehmen Preisnehmer: Der Marktpreis $p$ steht fest, es wählt nur die Menge. Ein Extremwert liegt dort, wo die erste Ableitung 0 ist, und er ist ein Maximum, wenn die zweite dort negativ ist. Für den Gewinn $G(x)=p\cdot x-K(x)$ heißt das $G^{\prime }(x)=p-K^{\prime }(x)=0$, also Preis gleich Grenzkosten. Weil $G^{\prime \prime }(x)=-K^{\prime \prime }(x)$ nur rechts vom Wendepunkt negativ ist, muss dieser Schnittpunkt auf dem steigenden Ast der Grenzkosten liegen.

Beim Marktpreis 34 GE heißt das $0,75x^2-6x+19=34$, also $x^2-8x-20=0$, mit den Lösungen 10 und −2. Die negative fällt weg, das Unternehmen stellt 10 ME her. Die Kosten sind dann $K(10)=200$ GE und der Gewinn $34\cdot 10-200=140$ GE.

Kurzfristig lohnt sich die Produktion auch mit Verlust, solange der Preis die variablen Kosten deckt, denn die Fixkosten fallen ohnehin an. Die variablen Stückkosten $k_v(x)=(K(x)-60)/x=0,25x^2-3x+19$ sind eine Parabel mit dem Scheitel bei $x=3/(2\cdot 0,25)=6$ und $k_v(6)=10$ GE. Die Menge 6 ME heißt Betriebsminimum; der Preis dort, 10 GE, ist die kurzfristige Preisuntergrenze, denn darunter deckt kein Preis die variablen Kosten. Dort ist auch $K^{\prime }(6)=27-36+19=10$: Kostet die nächste Einheit genau so viel wie der Durchschnitt, hört der Durchschnitt auf zu fallen.

Der typische Fehler ist das Minimum der falschen Kurve. Die gesamten Stückkosten $K(x)/x$ enthalten die Fixkosten; ihr Minimum heißt Betriebsoptimum, liegt höher und ist die langfristige Preisuntergrenze. Das Minimum der Grenzkosten, 7 GE bei 4 ME, ist keine Preisuntergrenze. Lies außerdem, ob Preis oder Menge gefragt ist.

Preispolitik eines Monopolisten: Mathematik (CBK)

Ein Monopolist bestimmt den Preis selbst; wie viel er dazu absetzt, legt die Nachfrage fest. Hier ist sie als Preis-Absatz-Funktion $p(x)=35-x$ gegeben: dieselbe Art Zusammenhang wie eine Nachfragefunktion $x(p)$, nur nach dem Preis aufgelöst. Der Erlös ist $E(x)=35x-x^2$, und seine Ableitung $E^{\prime }(x)=35-2x$ heißt Grenzerlös: was eine Einheit mehr an Erlös bringt. Sie liegt unter dem Preis, weil jede zusätzliche Einheit den Preis für alle senkt.

Mit denselben Kosten $K(x)$ ist der Gewinn am größten, wo Grenzerlös und Grenzkosten gleich sind: $35-2x=0,75x^2-6x+19$, also $0,75x^2-4x-16=0$ mit der positiven Lösung $x=8$. Links davon bringt jede weitere Einheit mehr Erlös, als sie kostet, rechts davon weniger. Bei 8 ME sind Grenzerlös und Grenzkosten beide 19 GE, der Preis auf der Preis-Absatz-Funktion liegt mit $p(8)=27$ GE aber deutlich darüber. Der Erlös ist $E(8)=216$ GE, und nach Abzug von $K(8)=148$ GE bleiben 68 GE Gewinn.

Unsere Berechnung

Zahlen aus dem Beispiel des Artikels (eigene Zahlen, keine Prüfungsaufgabe): x in Mengeneinheiten (ME), Geldbeträge in GE, Preis-Absatz-Funktion p(x) = 35 − x.

Erlös: E(x) = p(x) · x = 35x − x², Grenzerlös E′(x) = 35 − 2x. Kosten: K(x) = 0,25x³ − 3x² + 19x + 60, Grenzkosten K′(x) = 0,75x² − 6x + 19.

Gleich steil: 35 − 2x = 0,75x² − 6x + 19, also 0,75x² − 4x − 16 = 0, x = (4 ± 8) / 1,5, das ist x = 8 (die andere Lösung ist negativ). Dort E′(8) = K′(8) = 19.

p(8) = 27, E(8) = 216, K(8) = 148, Gewinn 216 − 148 = 68. Der Gewinn ist positiv zwischen den Nullstellen x ≈ 3,04 und x ≈ 11,71 (numerisch), dort ist die Fläche zwischen den Kurven getönt. Die Tangenten tragen die Steigungen an der Stelle, die die Markierung auf eine Stelle genau anzeigt.

Dieselbe Frage ohne Ableitungen, mit linearen Kosten und der Scheitelformel, behandelt der Artikel über Kosten, Erlös und Monopol.

Übungsaufgaben zu Grenzkosten und Elastizität: Mathematik (CBK)

Die Prüfung besteht aus 20 Multiple-Choice-Fragen mit je 5 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Eine richtige Antwort bringt 1 Punkt. Die ersten 3 falschen Antworten kosten nichts, jede weitere kostet 0,25 Punkte; bestanden ist ab 11 Punkten.¹

Die drei Aufgaben unten sind unsere eigenen, in diesem Format; keine stammt aus einer Prüfung der WU oder aus dem Lehrbuch. Jede falsche Antwort ist ein typischer Fehler, und die Lösung zeigt den Rechenweg und wie du Antworten ausschließt.

Übungsaufgabe 1Differentialrechnung

Die Nachfrage nach einem Produkt ist x(p) = 120 − 0,05p², mit dem Preis p in GE (Geldeinheiten) und der Menge x in ME (Mengeneinheiten). Wie groß ist die Preiselastizität der Nachfrage beim Preis p = 30 (gerundet)?

1. a)−1,20
2. b)−0,83
3. c)−0,60
4. d)−0,04
5. e)1,20

Genau eine Antwort ist richtig.

Lösung und Punkte für jede Wahl+

Rechenweg

1. Menge beim Preis 30: x(30) = 120 − 0,05 · 900 = 120 − 45 = 75 ME.
2. Ableitung: x′(p) = −0,05 · 2p = −0,1p, also x′(30) = −3.
3. Elastizität: ε = x′(30) · 30 / x(30) = −3 · 30 / 75 = −90 / 75 = −1,20.

a)

Richtig. ε = x′(p) · p / x(p) = −3 · 30 / 75 = −1,20. Mit x′(p) = −0,1p ist x′(30) = −3, und x(30) = 120 − 45 = 75.

+1

b)

Falsch. Der Bruch verkehrt: x / (x′ · p) = 75 / (−90) ≈ −0,83, der Kehrwert der Elastizität.

0 oder −0,25

c)

Falsch. Falsch abgeleitet: x′(p) = −0,05p statt −0,1p, der Exponent 2 nicht als Faktor vorgezogen; −1,5 · 30 / 75 = −0,60.

0 oder −0,25

d)

Falsch. Die relative Änderungsrate x′ / x = −3 / 75 statt der Elastizität, ohne den Faktor p.

0 oder −0,25

e)

Falsch. Das Vorzeichen vergessen: nur der Betrag 3 · 30 / 75.

0 oder −0,25

–

Leer gelassen.

0

Typischer Fehler. Der verkehrte Bruch. Die Elastizität teilt die prozentuale Änderung der Menge durch die des Preises, x′ · p / x. Wer x / (x′ · p) rechnet, bekommt den Kehrwert −0,83. Er liegt wie die richtige Antwort nahe bei −1 und wirkt deshalb glaubwürdig.

Ausschließen vor dem Fertigrechnen. Die Nachfrage fällt, wenn der Preis steigt, also ist die Elastizität negativ; damit fällt e weg. Außerdem ist ε = p · x′ / x beim Preis 30 das Dreißigfache der relativen Änderungsrate x′ / x = −3 / 75 = −0,04. Genau diese Rate steht in d, der Faktor p fehlt dort, also fällt auch d weg. Es bleiben a, b und c.

Ein Tipp unter den 3 übrigen trifft mit Wahrscheinlichkeit 1/3. Er bringt im Schnitt ≈ 0,33 Punkte, solange deine drei freien Fehler reichen, und ≈ 0,17 danach.

Übungsaufgabe 2Differentialrechnung

Ein Unternehmen hat die Kostenfunktion K(x) = 0,2x³ − 6x² + 80x + 180, mit x in ME (Mengeneinheiten) und K in GE (Geldeinheiten). Wie hoch ist die kurzfristige Preisuntergrenze, der Preis im Betriebsminimum (gerundet)?

1. a)15,00 GE
2. b)20,00 GE
3. c)35,00 GE
4. d)46,36 GE
5. e)47,00 GE

Genau eine Antwort ist richtig.

Lösung und Punkte für jede Wahl+

Rechenweg

1. Variable Stückkosten ohne die Fixkosten 180: k_v(x) = (K(x) − 180) / x = 0,2x² − 6x + 80.
2. Scheitel der Parabel: x = 6 / (2 · 0,2) = 15 ME.
3. Probe: K′(15) = 0,6 · 225 − 12 · 15 + 80 = 135 − 180 + 80 = 35, die Grenzkosten schneiden k_v dort.
4. Preisuntergrenze: k_v(15) = 0,2 · 225 − 90 + 80 = 45 − 90 + 80 = 35,00 GE.

a)

Falsch. Die Menge des Betriebsminimums, 15 ME, statt des Preises.

0 oder −0,25

b)

Falsch. Das Minimum der Grenzkosten statt der variablen Stückkosten: K′(x) = 0,6x² − 12x + 80 ist bei x = 10 am kleinsten, K′(10) = 20.

0 oder −0,25

c)

Richtig. Die variablen Stückkosten k_v(x) = 0,2x² − 6x + 80 sind bei x = 15 am kleinsten: k_v(15) = 45 − 90 + 80 = 35. Zur Probe ist K′(15) = 135 − 180 + 80 = 35.

+1

d)

Falsch. Das Minimum der gesamten Stückkosten k(x) = K(x) / x, mit den Fixkosten, bei x ≈ 16,63: das Betriebsoptimum, die langfristige Preisuntergrenze.

0 oder −0,25

e)

Falsch. Die Fixkosten mitgerechnet: die gesamten Stückkosten bei 15 ME, k(15) = 35 + 180 / 15 = 47.

0 oder −0,25

–

Leer gelassen.

0

Typischer Fehler. Das Minimum der falschen Kurve. Kurzfristig zählen nur die variablen Stückkosten, weil die Fixkosten auch ohne Produktion anfallen. Mit den Fixkosten kommt das Betriebsoptimum heraus, 46,36 GE, die langfristige Preisuntergrenze. Das Minimum der Grenzkosten, 20 GE, ist keine Preisuntergrenze.

Ausschließen vor dem Fertigrechnen. Im Betriebsminimum schneiden die Grenzkosten die variablen Stückkosten, und zwar auf dem steigenden Ast der Grenzkosten, über ihrem niedrigsten Wert K′(10) = 20 GE. Die Preisuntergrenze liegt also über 20 GE; damit fallen a (15) und b (20) weg. Es bleiben drei.

Ein Tipp unter den 3 übrigen trifft mit Wahrscheinlichkeit 1/3. Er bringt im Schnitt ≈ 0,33 Punkte, solange deine drei freien Fehler reichen, und ≈ 0,17 danach.

Übungsaufgabe 3Differentialrechnung

Ein Monopolist hat die Preis-Absatz-Funktion p(x) = 30 − 3x und die Kostenfunktion K(x) = 0,5x² + 2x + 20, mit x in ME (Mengeneinheiten), p und K in GE (Geldeinheiten). Bei welchem Preis ist sein Gewinn am größten?

1. a)4 GE
2. b)6 GE
3. c)9 GE
4. d)15 GE
5. e)18 GE

Genau eine Antwort ist richtig.

Lösung und Punkte für jede Wahl+

Rechenweg

1. Erlös E(x) = (30 − 3x) · x = 30x − 3x², Grenzerlös E′(x) = 30 − 6x.
2. Grenzkosten K′(x) = x + 2. Aus 30 − 6x = x + 2 folgt 7x = 28, also x = 4 ME.
3. Preis auf der Preis-Absatz-Funktion: p(4) = 30 − 3 · 4 = 18 GE.

a)

Falsch. Die gewinnmaximale Menge, 4 ME, statt des Preises.

0 oder −0,25

b)

Falsch. Die Grenzkosten im Optimum, K′(4) = 4 + 2 = 6, statt des Preises auf der Preis-Absatz-Funktion.

0 oder −0,25

c)

Falsch. Preis gleich Grenzkosten gesetzt wie bei vollständiger Konkurrenz: 30 − 3x = x + 2 ergibt x = 7 und p(7) = 9.

0 oder −0,25

d)

Falsch. Das Erlösmaximum statt des Gewinnmaximums: E′(x) = 30 − 6x = 0 bei x = 5, p(5) = 15.

0 oder −0,25

e)

Richtig. Grenzerlös gleich Grenzkosten: 30 − 6x = x + 2, also x = 4 und p(4) = 30 − 12 = 18. Der Gewinn ist dann 72 − 36 = 36 GE.

+1

–

Leer gelassen.

0

Typischer Fehler. Preis gleich Grenzkosten. Diese Bedingung gilt für den Preisnehmer, dessen Menge den Preis nicht bewegt. Der Monopolist senkt mit jeder zusätzlichen Einheit den Preis für alle, deshalb zählt bei ihm der Grenzerlös. Mit p = K′ kommen 7 ME zu 9 GE heraus, und der Gewinn wäre 63 − 58,5 = 4,5 GE statt 36 GE.

Ausschließen vor dem Fertigrechnen. Ein Mengenanpasser würde Preis gleich Grenzkosten setzen: 30 − 3x = x + 2 ergibt x = 7 und den Preis 9 GE. Der Monopolist verkauft weniger, weil sein Grenzerlös unter dem Preis liegt, und verlangt deshalb mehr als 9 GE. Damit fallen a, b und c weg, es bleiben zwei.

Ein Tipp unter den 2 übrigen trifft mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Er bringt im Schnitt 0,5 Punkte, solange deine drei freien Fehler reichen, und 0,375 danach.

Hilfsmittel und Zeit für Optimierungsaufgaben im CBK

Welche der 20 Fragen welches Kapitel abfragt, veröffentlicht die WU nicht; dieser Artikel folgt dem Lehrbuch. Dort gehören „Marginale Änderung“, „Relative Änderungsrate“ und „Elastizitäten“ zum Abschnitt „Interpretationen der Ableitung“. Es folgen „Kurvendiskussion“ und „Anwendungen – Optimierung“, und zu diesem gehört auch „Optimale Lagerhaltung“, die dieser Artikel auslässt.²

Erlaubt ist ein Taschenrechner ohne Funktionen für Differential-, Integral- und Matrizenrechnung, ohne Löser für lineare Gleichungssysteme und ohne Textspeicher.¹ Die Ableitungen entstehen also auf dem Papier, und die quadratischen Gleichungen aus $p=K^{\prime }(x)$ oder $E^{\prime }(x)=K^{\prime }(x)$ löst du mit der Lösungsformel.

Die Prüfungsrichtlinie der WU schließt Formelsammlungen und Uhren jeder Art aus, wenn der Syllabus nichts anderes vorsieht.³ Eine eigene Formelsammlung darfst du also nicht mitbringen, und ob bei der Prüfung eine ausgeteilt wird, schreibt die WU nicht. Im Kopf haben musst du die Ableitungsregeln, $\epsilon =x^{\prime }\cdot p/x$ samt Vorzeichen und drei Bedingungen: Preis gleich Grenzkosten beim Preisnehmer, Grenzerlös gleich Grenzkosten im Monopol, das Minimum der variablen Stückkosten für das Betriebsminimum.

Für die ganze Prüfung sind im Prüfungsplan zwei Stunden reserviert, die Schreibzeit nennt der Syllabus nicht.⁴ Bei 20 Fragen bleiben höchstens sechs Minuten für jede.

Nächster Schritt nach Grenzkosten und Elastizität: Mathematik (CBK)

1. Rechne die drei Aufgaben oben, bevor du die Lösung öffnest, und notiere bei jeder zuerst, welche Kurve die Antwort liefert: Grenzkosten, variable Stückkosten, Grenzerlös oder Elastizität.
2. Hast du eine falsch, such in der Lösung den Fehler zu deiner Antwort. Schreib die Bedingung, die du verwechselt hast, künftig vor dem Rechnen hin. Mehr Übung dazu findest du im frei zugänglichen Lehrbuch von Birgit Rudloff und Achim Zeileis, im dritten Kapitel.⁵
3. Wenn das Ableiten selbst noch nicht sitzt, beginn mit dem Artikel über Ableitungsregeln und Kettenregel. Termine und Anmeldung zur Prüfung stehen im Überblick zur Mathematik-Prüfung im CBK.

Quellen

1. 1Syllabus 0003 Mathematik (LVP), Wintersemester 2026/27WU Wien, Vorlesungsverzeichnis · Seite ohne Datum · geprüft am 27. September 2026
2. 2Rudloff, Zeileis: Mathematik für Wirtschaftswissenschaften, Kapitel 3: Differentialrechnungmathe4wiwi.org · Seite ohne Datum · geprüft am 27. September 2026
3. 3Richtlinie zur Abhaltung von Präsenzprüfungen, 2026 (PDF)WU Wien · Dokument vom 2. März 2026 · geprüft am 27. September 2026
4. 4Prüfungsplan Semestermitte WiSe 2026/27, Prüfungswoche November 2026 (PDF)WU Wien, Prüfungsorganisation · Dokument vom 30. März 2026 · geprüft am 27. September 2026
5. 5Rudloff, Zeileis: Mathematik für Wirtschaftswissenschaften (Online-Buch, Version 2023)mathe4wiwi.org · Seite ohne Datum · geprüft am 26. September 2026